Olympic Toán học Quốc tế IMO 2003 — Đề chính thức Câu hỏi 1

Đặt $A$ là tập con gồm $101$ phần tử của $S=\{1,2,\dots,10^6\}$. Chứng minh rằng tồn tại các số $t_1$, $t_2, \dots, t_{100}$ trong $S$ sao cho các tập $$
A_j=\{x+t_j\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\dots,100
$$ rời nhau theo từng cặp.