Ngân hàng câu hỏi IMAS 2024

Một tòa nhà 48 tầng có 24 cửa sổ mỗi tầng. Người lau cửa sổ bắt đầu từ tầng 48 và phải lau hết cửa sổ của mỗi tầng rồi mới xuống tầng ngay bên dưới. Sau khi lau đúng 177 cửa sổ, người đó đang ở tầng nào?

Trong hình dưới đây, các điểm $A,B,C,D,E,F,G,H$ chia đường tròn thành 8 cung bằng nhau. Nếu $X$ là giao điểm của $AE$ và $BG$, góc $GXE$ bằng bao nhiêu độ?

Cho $p$ là số nguyên tố và $q$ là số nguyên dương sao cho $10p+4q$ và $28p+4q$ đều là số chính phương. Tính $p+q$.

Một đa giác lồi có $n$ góc trong. Số đo các góc trong, tính bằng độ, là các số nguyên lẻ liên tiếp, góc nhỏ nhất bằng $139^\circ$. Tính $n$.

Ba chữ số tận cùng của $11^{2025}$ là gì?

Một công ty cáp treo trên núi thu mỗi hành khách 10 đô-la cho mỗi ga đi qua trong chuyến đi (không tính ga lên cáp treo). Ví dụ, hành khách lên ở ga thứ 2 và xuống ở ga thứ 5 phải trả 30 đô-la.

Các cabin đều trống khi đến ga thứ nhất ở chân núi và mọi hành khách phải xuống ở ga cuối cùng trên đỉnh núi. Công ty ghi lại số khách lên và xuống tại các ga trong ngày. Tại mỗi ga, ký hiệu $(a,b)$ nghĩa là có $a$ hành khách đi một chiều lên cabin và $b$ hành khách xuống. Ví dụ, ghi $(35,20)$ ở ga thứ hai và $(45,15)$ ở ga thứ ba nghĩa là có 35 khách lên, 20 khách xuống ở ga thứ hai, rồi 45 khách lên và 15 khách xuống ở ga thứ ba.

Một ngày nọ, số liệu tại các ga như sau:
- Ga thứ 1: $(50,0)$
- Ga thứ 2: $(25,10)$
- Ga thứ 3: $(33,22)$
- Ga thứ 4: $(44,25)$
- Ga thứ 5: $(16,23)$
- Ga thứ 6: $(10,38)$
- Ga cuối: $(0,60)$

Tổng số tiền tất cả hành khách phải trả là bao nhiêu?

Sáu người lớn và ba trẻ em đi cắm trại. Chương trình có hoạt động đi bộ lên núi. Mỗi nhóm đi bộ phải có ít nhất hai người lớn. Có thể lập bao nhiêu nhóm khác nhau từ chín người này?

Amir có 12 miếng hình tam giác cân, với độ dài cạnh bên chung là 18 cm. Bạn ấy xếp chúng không chồng lên nhau thành một đa giác đều 12 cạnh như hình. Diện tích đa giác đó bằng bao nhiêu $\mathrm{cm}^2$?

Trong một trò chơi máy tính, mê cung là một bảng ô vuông có một số ô tô xám. Các ô xám có bẫy, còn các ô trắng an toàn. Nhân vật Jay đang đứng ở ô trắng đánh dấu “J”. Jay có thể nhảy từ ô trắng này sang ô trắng khác, nhưng chỉ theo hàng ngang hoặc cột dọc. Jay có thể nhảy qua một dãy ô xám, nhưng không được nhảy qua ô trắng khác và không được đáp xuống ô xám.

Ví dụ, trong hình minh họa, nếu đứng ở ô trắng góc trên bên phải, Jay có thể nhảy sang trái bốn ô hoặc xuống dưới hai ô, nhưng không thể nhảy xuống ba ô. Muốn tới các ô trắng khác, Jay phải nhảy thêm.



Trong mê cung dưới đây, Jay bắt đầu tại ô trắng đánh dấu “J”. Cần ít nhất bao nhiêu lần nhảy để bảo đảm rằng, từ vị trí xuất phát này, Jay có thể tới bất kỳ ô trắng nào khác?

Trong cả hai hình dưới đây, hai miền được gọi là kề nhau nếu có chung một đoạn thẳng. Hai miền chỉ có chung một điểm mà không có chung đoạn thẳng thì không kề nhau. Ví dụ, ở hình B, miền 1 và miền 5 không kề nhau. Alex muốn tô các miền có cùng số bằng cùng một màu trong cả hai hình, sao cho hai miền kề nhau không cùng màu. Cần ít nhất bao nhiêu màu?



Diagram A: Hình A; Diagram B: Hình B.

Một lớp gồm bảy học sinh được chia thành hai nhóm: nhóm thứ nhất có bốn học sinh, nhóm thứ hai có ba học sinh. Mỗi nhóm phải chọn một hoặc hai học sinh tham dự cuộc thi. Có bao nhiêu cách chia nhóm và chọn học sinh dự thi?

Trong hình dưới đây, một hình vuông và một đường tròn tiếp xúc tại một điểm và cắt nhau tại bốn điểm khác. Nếu cạnh hình vuông dài 4 cm, đường kính đường tròn dài bao nhiêu cm?

Trong môn bowling Candlepin, mười ki hình trụ, mỗi ki có đường kính 3 inch, được xếp thành hình tam giác; khoảng cách giữa tâm hai ki kề nhau là 12 inch như hình. Dùng một sợi dây ngắn nhất có thể bao quanh mười ki mà không di chuyển chúng, như đường đậm trong hình. Diện tích được bao quanh là $a+b\sqrt3+\frac c4\pi$ inch vuông, với $a,b,c$ là các số nguyên. Tính $a+b+c$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ nhỏ hơn 2025 thỏa mãn $n=a+b+c$, trong đó $a,b,c$ là ba ước khác nhau của $n$?

Andy, Benny và Charlie chạy trên ba đường thẳng song song $a,b,c$ (đường $b$ nằm giữa $a$ và $c$). Khi xuất phát, cả ba đứng trên một đường thẳng vuông góc với ba đường chạy. Khoảng cách giữa $a$ và $b$ gấp đôi khoảng cách giữa $b$ và $c$. Trong suốt cuộc đua, vị trí của ba người luôn thẳng hàng. Nếu vận tốc của Andy và Charlie lần lượt là 8 km/h và 20 km/h, vận tốc của Benny bằng bao nhiêu km/h?

Chọn ngẫu nhiên ba điểm từ lưới 15 điểm dưới đây, trong đó mỗi điểm có khả năng được chọn như nhau. Nếu xác suất ba điểm này tạo thành tam giác không suy biến là phân số tối giản $\frac pq$, hãy tính $p+q$. (Chú ý: Tam giác không suy biến là tam giác có diện tích khác 0.)

Tom hiện $x$ tuổi; năm người anh chị em họ của Tom có tuổi là 28, 33, 37, 47 và 52. Tính tổng tất cả giá trị có thể của $x$ sao cho tuổi trung bình của cả sáu người bằng trung vị tuổi của họ.

Một sân bowling có $x$ quả bóng nặng 10 pound, $y$ quả nặng 12 pound và $z$ quả nặng 14 pound, mỗi loại có ít nhất một quả. Tổng khối lượng bóng là 200 pound, $y$ chia hết cho 3 và $x>z$. Tính tổng tất cả giá trị có thể của $x$.

Các ô tô xám bao quanh một bảng ô vuông phải được điền mỗi ô một mũi tên hướng dọc ($\uparrow$, $\downarrow$), ngang ($\rightarrow$, $\leftarrow$) hoặc chéo ($\searrow$, $\swarrow$, $\nwarrow$, $\nearrow$) dọc theo bảng. Mỗi mũi tên phải hướng tới ít nhất một ô không tô. Số mũi tên hướng tới mỗi ô không tô bằng số ghi trong ô đó. Hình sau là một ví dụ:



Ben phải điền đầy đủ mũi tên vào bảng dưới đây, trong đó một số mũi tên đã có sẵn. Sau khi hoàn thành, tổng số mũi tên $\nwarrow$ và $\searrow$ mà Ben dùng là bao nhiêu?

Annie viết mười một số có hai chữ số liên tiếp thành một hàng:
$$a,a+1,a+2,\ldots,a+10.$$
Sau khi xóa ba số, trung bình cộng của các số ban đầu bằng trung bình cộng của các số còn lại. Nếu ba số bị xóa là các số ở vị trí thứ $x,y,z$ tính từ trái sang phải, có tất cả bao nhiêu bộ ba có thứ tự $(x,y,z)$?