IMAS 2024–2025 — Cấp Junior — Vòng 2

Hàm số thực $f$ xác định trên toàn bộ các số thực thỏa mãn $f(x)\le x$ với mọi số thực $x$ và $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ với mọi số thực $x,y$. Tính $f(20)+f(25)$.

Alex và Boris lái xe với hai vận tốc không đổi khác nhau. Vào cùng một thời điểm buổi sáng, Alex xuất phát từ thị trấn A đến thị trấn B, còn Boris đi từ B đến A trên cùng con đường. Họ gặp nhau lúc 11 giờ sáng. Sau đó Alex đến B lúc 3 giờ chiều, còn Boris đến A lúc 8 giờ tối. Họ đã xuất phát lúc mấy giờ?

Có những số chính phương mà bốn chữ số cuối cùng đều bằng cùng một chữ số $a$. Ví dụ $100^2=10000$. Có bao nhiêu giá trị khác nhau có thể có của $a$?

Cho tứ giác $ABCD$ như hình, với $AB=BC$, $\angle ABD=55^\circ$, $\angle CBD=75^\circ$ và $\angle ADC=115^\circ$.



Hiệu dương (góc lớn trừ góc nhỏ), tính bằng độ, giữa $\angle BAD$ và $\angle BCD$ là bao nhiêu?

Hai hình vuông $ABCD$ và $APNM$ được đặt cạnh nhau, không chồng lên nhau như hình. Cạnh hình vuông $ABCD$ ngắn hơn cạnh hình vuông $APNM$, và $O$ là giao điểm của $BN$ với $AD$.



Chỉ có một phát biểu trong (A)–(E) LUÔN đúng. Đó là phát biểu nào?

Một số có hai chữ số được gọi là tốt nếu bằng tổng bình phương hai chữ số trừ đi tích của chúng. Ví dụ $48$ là số tốt vì $48=4^2+8^2-4\times8$. Tính tổng tất cả các số tốt, kể cả $48$.

Một số có ba chữ số được gọi là thú vị nếu thỏa mãn cả hai điều kiện sau:
- Mọi chữ số đều khác $0$.
- Khi xóa bất kỳ một chữ số nào rồi cộng chữ số bị xóa vào số có hai chữ số còn lại, kết quả luôn chia hết cho $8$.

Ví dụ $195$ là số thú vị: xóa $1$ được $1+95=96$; xóa $9$ được $15+9=24$; xóa $5$ được $19+5=24$. Các kết quả đều chia hết cho $8$. Có tất cả bao nhiêu số thú vị có ba chữ số?

Trong một trò chơi máy tính, mê cung được biểu diễn bằng bảng ô vuông. Ô xám là bẫy, ô trắng là ô an toàn. Jay đang đứng trên ô trắng được đánh dấu “J”. Jay có thể nhảy từ ô trắng này sang ô trắng khác, nhưng chỉ theo hàng ngang hoặc cột dọc và xa không quá 3 ô. Jay có thể nhảy qua một dãy ô xám, nhưng không được nhảy qua ô trắng khác và không được đáp xuống ô xám.

Ví dụ ở hình dưới, từ “J”, Jay có thể nhảy sang phải ba ô hoặc xuống dưới hai ô, nhưng không được nhảy sang trái bốn ô hay xuống dưới ba ô. Muốn đến ô trắng khác nữa phải thực hiện thêm các lần nhảy.



Trong mê cung sau, Jay xuất phát ở “J”. Cần ít nhất bao nhiêu lần nhảy để bảo đảm bất kỳ ô trắng nào khác cũng có thể đến được từ vị trí xuất phát này?

Trong tam giác đều $ABC$, điểm $P$ nằm bên trong và thỏa mãn $PA=5$ cm, $PB=12$ cm, $PC=13$ cm như hình. Góc $\angle APB$ bằng bao nhiêu độ?

Có $18$ lá bài, mỗi lá mang một số nguyên dương thuộc $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, mỗi số xuất hiện trên đúng hai lá. Amy chọn ngẫu nhiên đồng thời hai lá rồi chỉ cho Brandon biết tích hai số. Brandon thắng nếu xác định được hai số trong một lần mà không phải đoán. Xác suất Brandon thắng là bao nhiêu, viết dưới dạng $\frac{q}{p}$ với $p,q$ nguyên tố cùng nhau?

Có bao nhiêu cách tô sáu đỉnh của lục giác $ABCDEF$, mỗi đỉnh một trong ba màu đỏ, xanh lá, vàng, sao cho hai đỉnh kề nhau không cùng màu? Hình minh họa một cách tô; R là đỏ, G là xanh lá, Y là vàng.

Trong một bể bóng có đủ nhiều bóng thuộc bốn màu đỏ, xanh dương, vàng và xanh lá. Có 2025 người lần lượt lấy ra mỗi người bốn quả bóng. Số người ít nhất chắc chắn có cùng các màu và cùng số bóng của từng màu là bao nhiêu? Hãy cho cận chặt nhất.

Một cửa hàng bán cốc giá 21 đô-la mỗi chiếc, bát giá 24 đô-la mỗi chiếc và nồi giá 168 đô-la mỗi chiếc. Một ngày, cửa hàng bán được tổng cộng 2025 đô-la từ ba mặt hàng này, mỗi loại bán ít nhất một chiếc. Có bao nhiêu bộ số lượng ba mặt hàng có thể đã bán trong ngày đó?

Số thập phân tuần hoàn có các chữ số lặp theo chu kỳ: từ một vị trí nào đó, cùng một dãy chữ số lặp lại liên tục. Ví dụ $\frac{1234}{9999}=0.12341234\ldots=0.\overline{1234}$. Để tính tổng các chữ số trong một chu kỳ, ngoài cách cộng trực tiếp, còn có phương pháp sau:

(a) Biết chu kỳ thập phân của $\frac1{17}$ dài $16$ chữ số; được phép sử dụng điều này. Để tính tổng các chữ số trong chu kỳ, giả sử $\frac1{17}=\frac{A}{10^{16}-1}$, với số nguyên dương $A$ biểu diễn chu kỳ. Vì chu kỳ dài $16$, $10^{16}-1$ chia hết cho $17$, còn $10^k-1$ không chia hết cho $17$ với $1\le k<16$. Vì $17$ là số nguyên tố, theo định lý Fermat nhỏ, $10^{16}\equiv1\pmod{17}$. Do đó $10^{16/2}=10^8\equiv\pm1\pmod{17}$. Hãy viết tiếp chứng minh để cho thấy đáp án là $72$. (5 điểm)

(b) Biết chu kỳ thập phân của $\frac1{179}$ dài $178$ chữ số; được phép sử dụng điều này. Tổng các chữ số trong chu kỳ của $\frac1{179}$ bằng bao nhiêu? Hãy dùng phương pháp tương tự phần (a). (15 điểm)

Gọi $F$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ với $AB$, và $Z$ là điểm bất kỳ nằm hoàn toàn giữa $B$ và $C$, như hình. Các điểm $K,J$ lần lượt nằm trên đường tròn nội tiếp các tam giác $BFZ,CAZ$, sao cho $KJ$ là tiếp tuyến chung ngoài còn lại của hai đường tròn này. Chứng minh $KJ$ cũng tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $AFZ$.