AMC 12B năm 2013

Vào một ngày cụ thể trong tháng Giêng, nhiệt độ cao ở Lincoln, Nebraska, cao hơn $16$ độ so với nhiệt độ thấp và nhiệt độ trung bình của nhiệt độ cao và thấp là $3^\circ.$ Tính theo độ, nhiệt độ thấp ở Lincoln ngày hôm đó là bao nhiêu?

Ông Green đo khu vườn hình chữ nhật của mình bằng cách đi bộ hai bên và thấy rằng nó dài $15$ bước $20$ bước. Mỗi bước đi của ông Green dài $2$ feet. Ông Green mong đợi có được nửa pound khoai tây trên mỗi foot vuông từ khu vườn của mình. Ông Green mong đợi bao nhiêu pound khoai tây từ khu vườn của mình?

Khi đếm từ $3$ đến $201,$ $53$ là số thứ nhất $51$ được tính. Khi đếm ngược từ $201$ đến $3,$ $53$ là số thứ $n$ được tính. $n?$ là gì

Xe của Ray đạt trung bình $40$ dặm/gallon xăng, và xe của Tom trung bình $10$ dặm/gallon xăng. Ray và Tom mỗi người lái xe cùng số km. Tỷ lệ kết hợp của xe ô tô dặm mỗi gallon xăng là gì?

Độ tuổi trung bình của $33$ học sinh lớp năm là $11.$ Độ tuổi trung bình của $55$ của cha mẹ các em là $33.$ Độ tuổi trung bình của tất cả các bậc cha mẹ và học sinh lớp năm này là bao nhiêu?

Các số thực $x$ và $y$ thỏa mãn phương trình $x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34.$ $x+y?$

Jo và Blair lần lượt đếm từ $1$ đến nhiều hơn số cuối cùng mà người kia nói đến một đơn vị. Jo bắt đầu bằng cách nói “$1$”, vì vậy Blair tiếp theo bằng cách nói “$1,$ $2$”. Sau đó, Jo nói “$1,$ $2,$ $3$”, v.v. Số thứ $53$ nói lên điều gì?

Đường thẳng $\ell_1$ có phương trình $3x - 2y = 1$ đi qua $A = (-1, -2).$ Đường $\ell_2$ có phương trình $y = 1$ và cắt đường $\ell_1$ tại điểm $B.$ Đường $\ell_3$ có độ dốc dương, đi qua điểm $A,$ và đáp ứng $\ell_2$ tại điểm $C.$ diện tích của $\triangle ABC$ là $3.$ Độ dốc của $\ell_3?$ là bao nhiêu

Tổng số mũ của các thừa số nguyên tố của căn bậc hai của số chính phương lớn nhất chia $12!$ là bao nhiêu?

Alex có $75$ mã thông báo màu đỏ và $75$ mã thông báo màu xanh lam. Có một gian hàng nơi Alex có thể đưa hai mã thông báo màu đỏ và nhận lại một mã thông báo bạc và một mã thông báo màu xanh và một gian hàng khác nơi Alex có thể đưa ba mã thông báo màu xanh và nhận lại một mã thông báo bạc và một mã thông báo màu đỏ. Alex tiếp tục trao đổi token cho đến khi không thể trao đổi được nữa. Cuối cùng Alex sẽ có bao nhiêu đồng bạc?

Hai con ong xuất phát ở cùng một vị trí và bay với tốc độ như nhau theo các hướng sau. Bee $A$ di chuyển chân $1$ về phía bắc, sau đó $1$ chân về phía đông, rồi $1$ chân lên trên, rồi tiếp tục lặp lại mô hình này. Bee $B$ di chuyển $1$ chân về phía nam, sau đó $1$ chân về phía tây, rồi tiếp tục lặp lại mô hình này. Những con ong đang di chuyển theo những hướng nào khi chúng cách nhau chính xác $10$ feet?

Các thành phố $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ và $E$ được kết nối bằng đường bộ $AB,$ $AD,$ $AE,$ $BC,$ $BD,$ $CD,$ và $DE.$ Có bao nhiêu tuyến đường khác nhau từ $A$ đến $B$ sử dụng mỗi con đường đúng một lần? (Tuyến đường như vậy nhất thiết phải ghé thăm một số thành phố nhiều lần.)

Các góc trong của tứ giác $ABCD$ tạo thành một cấp số cộng. Các tam giác $ABD$ và $DCB$ là đồng dạng với $\angle DBA = \angle DCB$ và $\angle ADB = \angle CBD.$ Hơn nữa, các góc trong mỗi hai tam giác này cũng tạo thành một cấp số cộng. Tính theo độ, tổng lớn nhất có thể có của hai góc lớn nhất của $ABCD?$ là bao nhiêu?

Hai dãy số nguyên không âm không giảm có số hạng đầu tiên khác nhau. Mỗi chuỗi có đặc tính là mỗi số hạng bắt đầu bằng số hạng thứ ba là tổng của hai số hạng trước đó và số hạng thứ bảy của mỗi dãy là $N.$ Giá trị nhỏ nhất có thể có của $N?$ là bao nhiêu?

Số $2013$ được biểu diễn dưới dạng

$$
2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!},
$$

trong đó $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ và $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ là số nguyên dương và $a_1 + b_1$ càng nhỏ càng tốt. $|a_1 - b_1|\,?$ là gì

Giả sử $ABCDE$ là một hình ngũ giác lồi đều của chu vi $1.$ Các giao điểm theo cặp của các đường kéo dài các cạnh của hình ngũ giác sẽ xác định một đa giác ngôi sao năm cánh. Đặt $s$ là chu vi của ngôi sao này. Sự khác biệt giữa giá trị tối đa và tối thiểu có thể có của $s?$

Đặt $a,$ $b,$ và $c$ là các số thực sao cho

$$
a + b + c = 2
$$ và $$
a^2 + b^2 + c^2 = 12.
$$

Sự khác biệt giữa giá trị tối đa và tối thiểu có thể có của $c?$

Barbara và Jenna chơi trò chơi sau đây, trong đó họ thay phiên nhau chơi. Một số đồng xu nằm trên bàn. Khi đến lượt của Barbara, cô ấy phải loại bỏ đồng xu $2$ hoặc $4$, trừ khi chỉ còn lại một đồng xu, trong trường hợp đó cô ấy sẽ thua lượt. Khi đến lượt Jenna, cô ấy phải loại bỏ đồng xu $1$ hoặc $3$. Việc tung đồng xu xác định ai đi trước. Ai loại bỏ đồng xu cuối cùng sẽ thắng trò chơi. Giả sử cả hai người chơi đều sử dụng chiến lược tốt nhất của họ. Ai sẽ thắng khi trò chơi bắt đầu với đồng xu $2013$ và khi trò chơi bắt đầu với đồng xu $2014$?

Trong tam giác $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ và $CA = 15.$ Các điểm phân biệt $D,$ $E,$ và $F$ nằm trên các đoạn $BC,$ $CA,$ và $DE,$ tương ứng, sao cho $AD \perp BC,$ $DE \perp AC,$ và $AF \perp BF.$ Độ dài của đoạn $DF$ có thể được viết là $\dfrac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. $m + n?$ là gì

Đối với $135^\circ \lt x \lt 180^\circ,$ điểm $P = (\cos x, \cos^2 x),$ $Q = (\cot x, \cot^2 x),$ $R = (\sin x, \sin^2 x),$ và $S = (\tan x, \tan^2 x)$ là các đỉnh của hình thang. $\sin(2x)?$ là gì