AMC 10A năm 2024

Giá trị của $9901 \cdot 101 - 99 \cdot 10101?$ là bao nhiêu

Một mô hình được sử dụng để ước tính thời gian cần thiết để đi bộ lên đỉnh núi trên một con đường mòn có dạng $T = aL + bG,$ trong đó $a$ và $b$ là các hằng số, $T$ là thời gian tính bằng phút, $L$ là chiều dài của con đường tính bằng dặm và $G$ là độ cao đạt được ở chân. Mô hình ước tính rằng sẽ mất $69$ phút để đi bộ lên đỉnh nếu đường mòn dài $1.5$ dặm và cao dần $800$ feet, cũng như nếu đường mòn dài $1.2$ dặm và cao dần $1100$ feet. Mô hình ước tính sẽ mất bao nhiêu phút để leo lên đỉnh nếu đường mòn dài $4.2$ dặm và cao dần $4000$ feet?

Tổng các chữ số của số nguyên tố nhỏ nhất có thể được viết dưới dạng tổng của $5$ số nguyên tố riêng biệt là bao nhiêu?

Số $2024$ được viết dưới dạng tổng của các số có hai chữ số không nhất thiết phải phân biệt. Số ít nhất các số có hai chữ số cần thiết để viết tổng này là bao nhiêu?

Giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho $n!$ là bội số của $2024?$

Cần bao nhiêu lần hoán đổi liên tiếp các chữ cái liền kề trong chuỗi ABCDEF để thay đổi chuỗi thành FEDCBA?

(Ví dụ: yêu cầu hoán đổi $3$ để thay đổi ABC thành CBA; một chuỗi hoán đổi như vậy là ABC $\to$ BAC $\to$ BCA $\to$ CBA.)

Tích của ba số nguyên là $60.$ Tổng dương nhỏ nhất có thể có của ba số nguyên là bao nhiêu?

Amy, Bomani, Charlie và Daria làm việc trong một nhà máy sô cô la. Vào thứ Hai, Amy, Bomani và Charlie bắt đầu làm việc lúc $1{:}00$ PM và có thể đóng gói các gói $4,$ $3,$ và $3$ tương ứng cứ sau mỗi $3$ phút. Một thời gian sau, Daria tham gia nhóm và Daria có thể đóng gói các gói $5$ cứ sau $4$ phút. Họ cùng nhau đóng gói xong các gói hàng $450$ vào đúng $2{:}45$ chiều. Daria tham gia nhóm vào thời điểm nào?

Có bao nhiêu cách $6$ cấp dưới và $6$ cấp cao thành lập $3$ các đội riêng biệt gồm $4$ người để mỗi đội có $2$ cấp dưới và $2$ cấp cao?

Hãy xem xét các hoạt động sau đây. Cho một số nguyên dương $n,$ nếu $n$ là bội số của $3,$ thì bạn thay thế $n$ bằng $\tfrac{n}{3}.$ Nếu $n$ không phải là bội số của $3,$ thì bạn thay thế $n$ bằng $n + 10.$ Sau đó tiếp tục quá trình này. Ví dụ: bắt đầu bằng $n = 4,$ quy trình này sẽ cho $4 \to 14 \to 24 \to 8$ $\to 18 \to 6 \to 2 \to 12 \to \cdots.$

Giả sử bạn bắt đầu với $n = 100.$ thì kết quả sẽ có giá trị gì nếu bạn thực hiện thao tác này chính xác $100$ lần?

Có bao nhiêu cặp số nguyên có thứ tự $(m, n)$ thỏa mãn

$$
\sqrt{n^2 - 49} = m?
$$

Zelda đã chơi trò chơi *Adventures of Math* vào tháng 8 $1$ và ghi được $1700$ điểm. Cô ấy tiếp tục chơi hàng ngày trong $5$ ngày tiếp theo. Biểu đồ thanh bên dưới cho thấy sự thay đổi hàng ngày về điểm số của cô ấy so với ngày hôm trước. (Ví dụ: điểm của Zelda vào tháng 8 $2$ là $1700 + 80 = 1780$ điểm.) Điểm trung bình của Zelda về số điểm trong $6$ ngày là bao nhiêu?

Hai phép biến đổi được cho là có tính chất hoán chuyển nếu áp dụng phép biến đổi thứ nhất rồi đến phép biến đổi thứ hai cho kết quả tương tự như việc áp dụng phép biến đổi thứ hai rồi đến phép biến đổi thứ nhất. Hãy xem xét bốn phép biến đổi của mặt phẳng tọa độ:

• dịch $2$ đơn vị sang bên phải,

• phép quay $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ về gốc,

• sự phản chiếu qua trục $x$ và

• độ giãn có tâm ở gốc tọa độ với tỷ lệ thừa số $2.$

Trong số $6$ cặp phép biến đổi riêng biệt từ danh sách này, có bao nhiêu cặp phép biến đổi đi lại?

Một cạnh của tam giác đều có chiều cao $24$ nằm trên đường thẳng $\ell.$ Một đường tròn bán kính $12$ tiếp xúc với $\ell$ và tiếp tuyến ngoài với tam giác. diện tích của vùng bên ngoài tam giác và hình tròn và được giới hạn bởi tam giác, hình tròn và đường thẳng $\ell$ có thể được viết là $a\sqrt{b} - c\pi,$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương và $b$ không phải là số nguyên dương chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. $a + b + c?$ là gì

Đặt $M$ là số nguyên lớn nhất sao cho cả $M + 1213$ và $M + 3773$ đều là số chính phương. chữ số hàng đơn vị của $M?$ là gì

Tất cả các hình chữ nhật trong hình bên dưới, được vẽ theo tỷ lệ, đều là đồng dạng cho hình chữ nhật kèm theo. Mỗi số đại diện cho diện tích của hình chữ nhật. Độ dài $AB?$ là bao nhiêu

Hai đội vào vòng loại trực tiếp hai trong ba đội có thành tích tốt nhất: các đội sẽ chơi các trận nhiều nhất $3$ và đội chiến thắng trong trận playoff là đội đầu tiên thắng các trận $2$. Trận đầu tiên được thi đấu trên sân nhà của Đội A, các trận còn lại được thi đấu trên sân nhà của Đội B. Đội A có $\tfrac23$ cơ hội chiến thắng trên sân nhà và xác suất chiến thắng khi thi đấu xa nhà là $p.$ Kết quả của các trận đấu là độc lập. xác suất mà Đội A thắng trận playoff là $\tfrac12.$ Khi đó $p$ có thể được viết dưới dạng $\tfrac12\!\left(m - \sqrt{n}\right),$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương. $m + n?$ là gì

Có chính xác $K$ số nguyên dương $b$ với $5 \le b \le 2024$ sao cho số nguyên cơ sở-$b$ $2024_b$ là chia hết cho $16$ (trong đó $16$ nằm trong cơ số mười). Tổng các chữ số của $K?$ là bao nhiêu

Ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân là các số nguyên $a,$ $720,$ và $b,$ trong đó $a \lt 720 \lt b.$ Tổng các chữ số của giá trị nhỏ nhất có thể có của $b?$ là bao nhiêu

Đặt $S$ là tập con của $\{1, 2, 3, \ldots, 2024\}$ sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn:

• Nếu $x$ và $y$ là các phần tử riêng biệt của $S,$ thì $|x - y| \gt 2.$

• Nếu $x$ và $y$ là các phần tử lẻ riêng biệt của $S,$ thì $|x - y| \gt 6.$

Số phần tử tối đa có thể có trong $S?$ là bao nhiêu?