(HUN) Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases}x+y+z=a,\\x^2+y^2+z^2=b^2,\\xy=z^2,\end{cases}$$
trong đó $a$ và $b$ là các số thực cho trước. Những điều kiện nào đối với $a$ và $b$ để các nghiệm dương và đôi một khác nhau?
(POL) Cho $a,b$ và $c$ là độ dài các cạnh của một tam giác có diện tích $S$. Chứng minh rằng
$$a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt3.$$
Dấu bằng xảy ra trong trường hợp nào?
(GDR) Trong miền trong của tam giác $\triangle P_1P_2P_3$, cho điểm $P$. Gọi $Q_1,Q_2$ và $Q_3$ lần lượt là giao điểm của $PP_1,PP_2$ và $PP_3$ với các cạnh đối diện của $\triangle P_1P_2P_3$. Chứng minh rằng trong các tỉ số $PP_1/PQ_1,PP_2/PQ_2$ và $PP_3/PQ_3$, có ít nhất một tỉ số không lớn hơn $2$ và ít nhất một tỉ số không nhỏ hơn $2$.
(CZS) Dựng tam giác $ABC$ biết các yếu tố sau: $AC=b$, $AB=c$ và $\angle AMB=\omega$ ($\omega<90^\circ$), trong đó $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh rằng dựng được tam giác khi và chỉ khi
$$b\tan\frac\omega2\le c<b.$$
Dấu bằng xảy ra trong trường hợp nào?
(ROM) Cho mặt phẳng $\epsilon$ và ba điểm không thẳng hàng $A,B$ và $C$ ở cùng một phía của mặt phẳng, sao cho mặt phẳng xác định bởi chúng không song song với $\epsilon$. Chọn ba điểm tùy ý $A',B'$ và $C'$ trong $\epsilon$. Gọi $L,M$ và $N$ là trung điểm của $AA',BB'$ và $CC'$, và $G$ là trọng tâm $\triangle LMN$. Tìm quỹ tích mọi điểm $G$ khi $A',B'$ và $C'$ thay đổi độc lập với nhau trên $\epsilon$.