IMAS 2013–2014 Cấp Junior — Vòng 2

Khi quay các chữ số 0, 1, 2, 5, 6, 8 và 9 một góc $180^\circ$, chúng lần lượt trở thành 0, 1, 2, 5, 9, 8 và 6. Số có bốn chữ số 9105 trở thành số nào khi quay $180^\circ$?

Giá trị của biểu thức $(a-b)(a+b-c)+(b-c)(b+c-a)+(c-a)(c+a-b)$ bằng bao nhiêu?

Ta muốn chia một hình vuông thành $n$ hình vuông không nhất thiết có cùng kích thước. Với giá trị nào sau đây của $n$ thì việc này không thể thực hiện?

Ba đội cầu lông có tổng cộng 29 vận động viên. Hai người cùng đội không đấu với nhau, còn mỗi cặp người thuộc hai đội khác nhau đấu đúng một trận. Có thể tổ chức nhiều nhất bao nhiêu trận?

Hai đa thức bậc hai phân biệt $f(x)$ và $g(x)$ đều có hệ số bậc cao nhất bằng 1, thỏa mãn $f(1)+f(3)+f(5)=g(1)+g(3)+g(5)$. Tìm tất cả nghiệm của $f(x)=g(x)$.

Hình vẽ cho tứ giác $ABCD$ có $AB$ song song với $DC$. $F$ là trung điểm của $BC$. Nếu diện tích tam giác $AFD$ bằng 10 cm² thì diện tích tứ giác $ABCD$ bằng bao nhiêu cm²?

Lily có 2014 viên sô-cô-la. Ngày đầu bạn ấy ăn một viên. Mỗi ngày sau đó, bạn ấy ăn gấp đôi ngày trước, cho đến khi ăn hết sô-cô-la. Ngày cuối cùng bạn ấy ăn bao nhiêu viên?

Leon xếp 99 quả táo vào hai loại hộp. Một hộp lớn chứa được 12 quả, còn một hộp nhỏ chứa được 5 quả. Tất cả các hộp đều phải đầy. Leon cần bao nhiêu hộp nếu số hộp phải lớn hơn 10?

Trong tứ giác lồi $ABCD$, $AB=3$, $BC=5$, $CD=6$, $DA=10$ và độ dài đường chéo $AC$ là một số nguyên dương. Tứ giác $ABCD$ có thể có bao nhiêu hình dạng khác nhau?

Chia mười số nguyên dương từ 1 đến 10 thành hai nhóm sao cho tích các số trong nhóm thứ nhất chia cho tích các số trong nhóm thứ hai được thương là số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất của thương này là bao nhiêu?

Một chong chóng bằng bìa có ba cánh được ghép từ bốn tam giác đều cạnh 6 cm. Hai tam giác chung một đỉnh có các cạnh tương ứng nằm trên cùng một đường thẳng như hình. Diện tích hình tròn mà các cánh quét qua khi quay là $x$ cm². Số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ là bao nhiêu?

Cho các số thực $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ thỏa mãn $a_{n+1}=|a_n|-|a_n-1|$ với $1\le n\le4$. Nếu $a_5=\frac12$ và $a_1=\frac pq$, trong đó $p,q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, thì $p+q$ bằng bao nhiêu?

Chu vi nhỏ nhất của một hình bình hành có thể chia thành 462 tam giác đều cạnh 1 cm là bao nhiêu?

Trong tam giác nhọn $ABC$, $AB=AC$. $D$ là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ xuống $CA$, và $E$ là chân đường vuông góc kẻ từ $D$ xuống $BC$. Nếu $BC=AB+AD$, hãy chứng minh $BE=CD$.

Một số nguyên dương $x$ có $n\ge2$ chữ số được viết liền nhau hai lần, và số có $2n$ chữ số thu được chia hết cho $x^2$. Chứng minh rằng hai chữ số đầu của $x$ lần lượt là 1 và 4.