IMAS 2012–2013 — Cấp Junior — Vòng 2

Trong một đợt khuyến mãi, ai mua một cốc nước ép với giá thông thường 7 đô-la có thể mua cốc thứ hai bằng cách trả thêm 1 đô-la. Một nhóm 9 người phải trả ít nhất bao nhiêu đô-la nếu mỗi người muốn uống một cốc nước ép?

Trong biểu thức $y=\frac{x^2}{1+x^2}$, lần lượt thay $x$ bằng các số $\frac1{2012},\frac1{2008},\frac1{2004},\ldots,\frac14,4,8,12,\ldots,2012$. Tổng tất cả các giá trị $y$ bằng bao nhiêu?

Tại một cửa hàng hoa, mỗi bông cẩm chướng có giá 3 đô-la và mỗi bông hồng có giá 4 đô-la. Một bó hoa là sự kết hợp của hai loại hoa này. Có bao nhiêu bó hoa khác nhau có giá 60 đô-la?

Một dải giấy hình chữ nhật dài 30 cm, rộng 3 cm được gấp như hình (2), tạo ra góc vuông $\angle ACB$. Sau khi gấp hoàn toàn như các hình (3) và (4), độ dài $AM$ và $GM$ bằng nhau. Độ dài $AC$ trong hình (1) bằng bao nhiêu?

Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $c=-\frac{ab}{a+b}$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Trong tam giác cân $ABC$ có $AB=AC$, điểm $D$ nằm trên cạnh $AC$ sao cho $AD=DB=BC$. Góc $\angle BAC$ bằng bao nhiêu độ?

Hình dưới đây gồm ba lục giác đều chồng lên nhau, mỗi hình có độ dài cạnh 12 cm$^2$. Một đỉnh của lục giác ở giữa trùng với tâm $O_1$ của lục giác bên trái, còn một đỉnh của lục giác bên phải trùng với tâm $O_2$ của lục giác ở giữa. Tổng diện tích hai phần tô đậm bằng bao nhiêu cm$^2$?

Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn $3^a=2013$ và $671^b=2013$. Giá trị của $\frac1a+\frac1b$ bằng bao nhiêu?

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình thang vuông có $AD\parallel BC$ và $E$ là trung điểm của $CD$. Nếu $BE=20$ cm và $AB=AD+BC$, hãy tính diện tích hình thang $ABCD$ theo cm$^2$.

Nếu số có 7 chữ số $\overline{20ab13c}$ chia hết cho 792 thì giá trị của $c(a+b)$ bằng bao nhiêu?

Trong một bữa tiệc, mỗi người tham dự bắt tay với bốn phụ nữ và sáu nam giới. Biết số lần bắt tay giữa những người khác giới ít hơn bảy lần số lần bắt tay giữa những người cùng giới, hỏi có bao nhiêu nam giới tham dự bữa tiệc?

Xếp 130 quả bóng giống nhau vào một số hộp giống nhau sao cho mỗi hộp chứa ít nhất 10 và nhiều nhất 20 quả. Số bóng trong các hộp đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

Cho $a,b$ là các số nguyên không âm nhỏ hơn 100. Nếu $a-2b$ là một số nguyên tố dương và $2ab$ là số chính phương, giá trị lớn nhất của $a+b$ bằng bao nhiêu?

Cho $k$ là số thực. Tích tất cả các nghiệm thực của phương trình $x^4+2x^3+(3+k)x^2+(2+k)x+2k=0$ bằng $-2012$. Tìm tổng bình phương các nghiệm thực. Cần trình bày lời giải chi tiết.

Một bàn cờ $9\times11$ có thể được phủ kín không chồng lấn bằng cách kết hợp ba loại mảnh dưới đây. Cần dùng ít nhất bao nhiêu mảnh gồm ba ô vuông? Cần trình bày lời giải chi tiết.