Olympic Toán học Quốc tế IMO 2022 — Đề chính thức Câu hỏi 1

Ngân hàng Oslo phát hành hai loại tiền xu: nhôm, ký hiệu $A$, và đồng, ký hiệu $B$. Marianne có $n$ đồng xu nhôm và $n$ đồng xu đồng, xếp thành một hàng theo thứ tự ban đầu tùy ý. Một *chuỗi* là một dãy con gồm các đồng xu liên tiếp cùng loại. Với số nguyên dương cố định $k \leq 2n$, Gilberty lặp lại thao tác sau: tìm chuỗi dài nhất chứa đồng xu thứ $k$ từ trái sang, rồi chuyển cả chuỗi đó đến đầu trái của hàng. Chẳng hạn, nếu $n=4$ và $k=4$, từ thứ tự $AABBBABA$ ta có quá trình $AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to \dotsb$.

Tìm mọi cặp $(n,k)$ với $1 \leq k \leq 2n$ sao cho với mọi thứ tự ban đầu, đến một thời điểm trong quá trình, $n$ đồng xu ngoài cùng bên trái đều cùng loại.