Olympic Toán học Quốc tế IMO 1999 — Đề chính thức

Xác định tất cả các tập hữu hạn $S$ của ít nhất ba điểm trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện sau: với hai điểm phân biệt bất kỳ $A$ và $B$ trong $S$, đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ là trục đối xứng của $S$.

Tìm hằng số nhỏ nhất $C$ sao cho với mọi số nguyên $n \gt 1$ bất đẳng thức $$
\sum_{1 \le i \lt j \le n} x_i x_j (x_i^2 + x_j^2)
\le C \left( \sum_{1 \le i \le n} x_i \right)^4
$$ đúng cho mọi số thực $x_1, \dots, x_n \ge 0$. Xác định các trường hợp đẳng thức.

Xét một bảng vuông có kích thước $n\times n$, trong đó $n$ là một số nguyên dương chẵn cố định. Bàn cờ được chia thành $n^2$ ô vuông đơn vị. Hai hình vuông khác nhau sẽ kề nhau nếu chúng có một cạnh chung. Tổng cộng $N$ ô vuông đơn vị được đánh dấu sao cho mỗi ô vuông, được đánh dấu hoặc không được đánh dấu, liền kề với ít nhất một ô vuông được đánh dấu. Xác định giá trị nhỏ nhất có thể có của $N$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,p)$ sao cho $p$ là số nguyên tố, $x^{p-1}$ là ước của $(p-1)^{x}+1$ và $x \le 2p$.

Hai đường tròn $\Omega_{1}$ và $\Omega_{2}$ tiếp xúc trong với đường tròn $\Omega$ lần lượt tại $M$ và $N$, và tâm của $\Omega_{2}$ nằm trên $\Omega_{1}$. Đường thẳng chứa dây cung chung của $\Omega_{1}$ và $\Omega_{2}$ cắt $\Omega$ tại $A$ và $B$. Các đường thẳng $MA$ và $MB$ cắt lại $\Omega_{1}$ lần lượt tại $C$ và $D$. Chứng minh rằng $\Omega_{2}$ tiếp xúc với đường thẳng $CD$.

Tìm tất cả các hàm số $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho $$
f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1
$$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.