Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$ và $M$ là trung điểm của $B C$. Đặt $X$ trên $A B$ và $Y$ trên $A C$ sao cho các điểm $X, Y$ và $G$ thẳng hàng và $X Y$ và $B C$ song song. Giả sử $X C$ và $G B$ cắt nhau tại $Q$ và $Y B$ và $G C$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng tam giác $M P Q$ đồng dạng với tam giác $A B C$.
Cho hai đường tròn tiếp tuyến và một điểm $P$ trên tiếp tuyến chung vuông góc với đường nối tâm của chúng. Dùng thước và compa dựng tất cả các đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn này và đi qua điểm $P$.
Giả sử có 997 điểm cho trên một mặt phẳng. Nếu cứ hai điểm được nối bởi một đoạn thẳng có trung điểm tô màu đỏ thì chứng tỏ rằng có ít nhất 1991 điểm màu đỏ trên mặt phẳng. Bạn có thể tìm được trường hợp đặc biệt có đúng 1991 điểm đỏ không?
Cho $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ là các số thực dương sao cho $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+ \cdots+b_{n}$. Cho thấy điều đó
Trong một bữa tiệc, mọi phụ nữ đều khiêu vũ với ít nhất một người đàn ông và không có người đàn ông nào khiêu vũ với mọi phụ nữ. Chứng minh rằng có nam $M$ và $M'$ và nữ $W$ và $W'$ sao cho $M$ nhảy với $W$, $M'$ nhảy với $W'$ nhưng $M$ không nhảy cùng $W'$ và $M'$ không hoạt động với $W$.
Với $k \gt 0$, chuỗi $a_1, a_2, a_3, \dots$ được xác định bởi hai thành viên đầu tiên của nó và $a_{n+2} = a_{n+1} + \frac{k}{n} a_n$. Cho $k$ nào chúng ta có thể viết một $a_n$ dưới dạng đa thức trong $n$? $k$ chúng ta có thể viết $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{p(n)}{q(n)}$, trong đó $p$ và $q$ là đa thức?
Một lâu đài có một số hội trường và cửa $n$. Mọi cánh cửa dẫn vào hội trường khác hoặc bên ngoài. Mỗi hội trường có ít nhất hai cửa. Một hiệp sĩ bước vào lâu đài. Trong bất kỳ hội trường nào, anh ta có thể chọn bất kỳ cánh cửa nào để thoát ngoại trừ cánh cửa mà anh ta vừa sử dụng để vào hội trường đó. Tìm một chiến lược cho phép hiệp sĩ ra ngoài sau khi ghé thăm không quá $2 n$ hội trường (một hội trường được tính mỗi khi nó được vào).
Một tam giác đều được chia thành các tam giác đồng dạng $25$ được liệt kê với các số từ $1$ đến $25$. Chứng minh rằng người ta có thể tìm thấy hai tam giác có cạnh chung và với hiệu số của các số được gán cho chúng lớn hơn $3$.
Cho $a, b, c, d, e$ là số thực riêng biệt. Chứng minh rằng phương trình $$
\begin{aligned}
& (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) \\
& +(x-a)(x-b)(x-c)(x-e) \\
& +(x-a)(x-b)(x-d)(x-e) \\
& +(x-a)(x-c)(x-d)(x-e) \\
& +(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0
\end{aligned}
$$ có 4 nghiệm thực phân biệt.
Có 20 con mèo có giá từ $\$ 12$ đến $\$ 15$ và 20 bao tải có giá từ 10 cent đến $\$ 1$ để bán (tất cả đều khác nhau). Chứng minh rằng mỗi người trong số hai cậu bé, John và Peter, có thể mua một con mèo trong một cái bao để trả cùng một số tiền.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ có thuộc tính: Đối với bất kỳ tập hợp nào của $n$ Số nguyên phân biệt $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ Tích của tất cả sự khác biệt $a_{i}-a_{j}$, $i\lt j$, được chia hết cho $1991$.
Hãy mở rộng một chút ba vòng tròn, chạm vào nhau bên ngoài, để ba cặp giao điểm xuất hiện. Biểu thị bằng $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ba điểm như vậy thu được "bên ngoài" và $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ các điểm "bên trong" tương ứng. chứng minh bình đẳng $$
|A_{1} B_{2}| \cdot |B_{1} C_{2}| \cdot |C_{1} A_{2}| = |A_{1} C_{2}| \cdot |C_{1} B_{2}| \cdot |B_{1} A_{2}|.
$$
Cho các mặt phẳng tọa độ có thuộc tính phản xạ. Một chùm tia rơi vào một trong số chúng. Hướng cuối cùng của chùm tia phản xạ từ cả ba mặt phẳng tọa độ phụ thuộc vào phương hướng ban đầu của nó như thế nào?