MathNet 1990 — Phần 01

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên $n \geq 6$, tồn tại một hình lục giác lồi có thể được mổ xẻ thành các tam giác đồng dạng chính xác $n$.

Một tập hợp các người $1990$ được chia thành các tập con không giao nhau theo cách mà
(a) không ai trong tập hợp con biết tất cả những người khác trong tập hợp con;
(b) Trong số ba người bất kỳ trong một tập hợp con, luôn có ít nhất hai người không biết nhau; và
(c) cho hai người bất kỳ trong một tập hợp con không biết nhau, có chính xác một người trong cùng một tập hợp con biết cả hai. (i) Chứng minh rằng trong mỗi tập hợp con, mỗi người có cùng một số người quen. (ii) Xác định số lượng tập hợp con tối đa có thể. Lưu ý: Nó được hiểu là nếu một người $A$ biết người $B$, thì người $B$ sẽ biết người $A$; Người quen là người được biết đến. Mỗi người được cho là biết bản thân của một người.

Cho $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ là số thực dương và hãy để $S_{k}$ là tổng các tích của $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ được lấy $k$ tại một thời điểm. Chứng minh rằng $$
S_{k} S_{n-k} \geq \binom{ n}{k}^{2} a_{1} a_{2} \ldots a_{n}, \quad \text{ cho } \quad k=1,2, \ldots, n-1
$$

Hãy xem xét tất cả các tam giác $A B C$ có cơ sở cố định $A B$ và có độ cao từ $C$ là $h$ không đổi. Đối với tam giác này là tích của độ cao là cực đại?

Chứng minh rằng hình đa diện lồi có số mặt lẻ có ít nhất một mặt có số cạnh chẵn.

Cho rằng $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$, $f(0) \neq 0$, $f(f(0)) \neq 0$. Cho $F(x) = \underbrace{f(\dots(f(x)\dots))}_{n \text{ lần}}$. Nếu $F(0) = 0$, hiển thị rằng $F(x) = x$ cho tất cả $x$ nơi biểu thức được xác định.

$ABCD$ là tứ giác lồi. $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA$. Tìm điểm $P$ sao cho khu vực $PHAE = \text{khu vực } PEBF = \text{khu vực } PFCG = \text{khu vực } PGDH$.

Mỗi mặt của một tứ diện là một tam giác có các cạnh $a$, $b$, $c$ và tứ diện có vòng tròn là $1$. Tìm $a^2 + b^2 + c^2$.

Chứng minh rằng có vô số giải pháp số nguyên dương cho $a^3 + 1990b^3 = c^4$.

Các bình phương của một tờ giấy bình phương được liệt kê như sau: Thiết lập một $p(m, n)$ đa thức của hai biến $m, n$ sao cho bất kỳ số nguyên dương nào $m$ và $n$ Số được viết trên ô vuông có tọa độ $(m, n)$ sẽ bằng $p(m, n)$.

Có tồn tại $1990$ các số tương đối nguyên tố sao cho tất cả các tổng có thể có của hai hoặc nhiều số này là số tổng hợp không?

Cho $*$ biểu thị một hoạt động, gán một số thực $a * b$ cho mỗi cặp số thực $(a, b)$ (ví dụ: $a * b = a + b^{2} - 17$). Đưa ra một phương trình đúng (đối với tất cả các giá trị có thể có của các biến) với điều kiện hoạt động $*$ là giao hoán hoặc liên kết và có thể là sai nếu không.

Cho $ABCD$ là hình tứ giác, $|AD| = |BC|$, $\angle A + \angle B = 120^{\circ}$ và để $P$ là một điểm bên ngoài cho hình tứ giác sao cho $P$ và $A$ nằm ở hai cạnh đối diện của đường thẳng $DC$ và tam giác $DPC$ là đều. Chứng minh tam giác $APB$ cũng đều là tam giác.

Hai hình tam giác bằng nhau được nội tiếp vào hình elip. Chúng có nhất thiết phải đối xứng với các trục hoặc tâm của hình elip không?

Trong hai cọc có $72$ và $30$ lần lượt là kẹo. Hai học sinh lấy, lần lượt lấy một số đồ ngọt từ một trong những đống. Mỗi lần số kẹo lấy từ một đống phải là bội số nguyên của số kẹo trong đống kia. Đó có phải là người mới bắt đầu trò chơi hay kẻ thù của anh ta luôn có thể đảm bảo lấy phần ngọt cuối cùng từ một trong những đống?

Cho $m$ và $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $25 m+3 n$ là chia hết cho $83$ nếu và chỉ khi $3 m+7 n$ được chia hết cho $83$.

Các số nguyên $1, 2, \ldots, n$ được viết (theo một số thứ tự) trên chu vi của một vòng tròn. Tổng nhỏ nhất có thể có của sự khác biệt của các số lân cận là bao nhiêu?

Một đoạn $AB$ có độ dài đơn vị được đánh dấu trên đường thẳng $t$. Sau đó, phân đoạn được di chuyển trên mặt phẳng để nó vẫn song song với $t$, dấu vết của các điểm $A$ và $B$ không giao nhau và cuối cùng phân đoạn quay trở lại $t$. Điểm $A$ bây giờ có thể cách vị trí ban đầu bao xa?

Trung điểm của mỗi cạnh của một hình ngũ giác lồi được nối với nhau bởi một đoạn với giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác được tạo thành bởi ba đỉnh còn lại của hình ngũ giác. Chứng minh rằng tất cả năm đoạn như vậy giao nhau tại một điểm.

Chứng minh rằng, đối với bất kỳ $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ thực, $$
\sum_{i, j=1}^{n} \frac{a_{i} a_{j}}{i+j-1} \geq 0
$$