MathNet 1973 — Phần 01

Đối với mọi số nguyên dương $n$, hãy cho $$
h(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}
$$ chẳng hạn, $h(1) = 1$, $h(2) = 1 + \frac{1}{2}$, $h(3) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$. Chứng minh điều đó đối với $n = 2, 3, 4, \ldots$ $$
n + h(1) + h(2) + h(3) + \cdots + h(n-1) = n h(n)
$$

Tôi. Giải các bất bình đẳng đồng thời, $x \lt \frac{1}{4x}$ và $x \lt 0$; tức là tìm một bất đẳng thức duy nhất tương đương với hai bất đẳng thức đồng thời đã cho. II. Số nguyên lớn nhất thỏa mãn cả bất đẳng thức $4x + 13 \lt 0$ và $x^2 + 3x \gt 16$ là gì? iii. Cho một số hữu tỉ giữa $\frac{11}{24}$ và $\frac{6}{13}$. IV. express $100000$ là tích của hai số nguyên, không phải là bội số nguyên của $10$. v. Không sử dụng bảng logarit đánh giá $$
\frac{1}{\log_{2} 36} + \frac{1}{\log_{3} 36}
$$

Quan sát rằng $$
\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ; \quad \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} ; \quad \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} ; \quad \frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}
$$ nêu một luật chung được đề xuất bởi các ví dụ này và chứng minh nó. Chứng minh rằng đối với bất kỳ số nguyên $n$ lớn hơn 1 thì tồn tại số nguyên dương $i$ và $j$ sao cho $$
\frac{1}{n} = \frac{1}{i(i+1)} + \frac{1}{(i+1)(i+2)} + \frac{1}{(i+2)(i+3)} + \cdots + \frac{1}{j(j+1)}
$$

Chứng minh rằng nếu $p$ và $p+2$ đều là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $6$ là một hệ số của $p+1$.

Tìm tất cả các số thực thỏa mãn phương trình $|x+3| - |x-1| = x+1$. (Lưu ý: $|a| = a$ nếu $a \geq 0$; $|a| = -a$ nếu $a \lt 0$.)

Nếu $A$ và $B$ là các điểm cố định trên một vòng tròn nhất định không thẳng hàng với trung tâm $O$ của vòng tròn và nếu $XY$ là đường kính biến đổi, hãy tìm quỹ tích của $P$ (đoạn giao nhau qua $A$ và $X$ và đường qua $B$ và $Y$).

Người chơi được đánh số $1$ để $1024$ chơi trong một giải đấu loại trực tiếp. Không có trận hòa nào, người chiến thắng của một trận đấu đi qua vòng tiếp theo và người thua bị hạ gục, để có các trận đấu $512$ ở vòng đầu tiên, $256$ ở vòng thứ hai, v.v. Nếu $m$ chơi $n$ và $m \lt n - 2$ thì $m$ luôn luôn thắng. Con số lớn nhất có thể cho người chiến thắng là bao nhiêu?

Chứng minh rằng một số thập phân có 9 chữ số có các chữ số đều khác nhau, không kết thúc bằng 5 và hoặc chứa số 0, không thể là hình vuông.

$ABC$ là tam giác góc nhọn. $D$ là sự phản ánh của $A$ trong $BC$, $E$ là sự phản ánh của $B$ trong $AC$ và $F$ là sự phản ánh của $C$ trong $AB$. Cho thấy rằng các đường tròn ngoại tiếp của $DBC$, $ECA$, $FAB$ gặp nhau tại một điểm và các đường $AD$, $BE$, $CF$ gặp nhau tại một thời điểm.

Một tam giác có diện tích $1$ và các cạnh $a \geq b \geq c$. Chứng minh rằng $b^2 \geq 2$

Cho điểm $n \gt 4$, chỉ ra rằng bạn có thể đặt một mũi tên giữa mỗi cặp điểm, để cho bất kỳ điểm nào bạn có thể đến bất kỳ điểm nào khác bằng cách di chuyển dọc theo một hoặc hai mũi tên theo hướng của mũi tên.

Xác định $p(x) = a x^2 + b x + c$. Nếu $p(x) = x$ không có gốc thực sự, hãy chứng minh rằng $p(p(x)) = 0$ không có gốc thực sự.

$OA$ và $OB$ là tiếp tuyến với một vòng tròn tại $A$ và $B$. Đường thẳng song song với $OB$ qua $A$ gặp lại vòng tròn tại $C$. Dòng $OC$ gặp lại vòng tròn tại $E$. Ray $AE$ đáp ứng dòng $OB$ tại $K$. Chứng minh rằng $K$ là trung điểm của $OB$.

Tại thời điểm $1$, các ô vuông đơn vị $n$ của một tờ giấy vô hạn được cai trị bằng hình vuông được sơn màu đen, phần còn lại vẫn là màu trắng. Tại thời điểm $k + 1$, màu của mỗi hình vuông được thay đổi thành màu được giữ tại thời điểm $k$ bởi phần lớn ba ô sau: hình vuông, hàng xóm phía bắc và hàng xóm phía đông của nó. Chứng minh rằng tất cả các hình vuông có màu trắng tại thời điểm $n + 1$.

Bạn được tặng 14 đồng xu. Được biết, đồng xu chính hãng đều có trọng lượng như nhau và đồng tiền giả đều có trọng lượng như nhau, nhưng lại nặng hơn đồng xu chính hãng. Bạn nghi ngờ rằng 7 đồng tiền cụ thể là hàng thật và 7 đồng khác là giả. Với một sự cân bằng, làm thế nào bạn có thể chứng minh điều này trong ba lần cân (giả sử rằng bạn hóa ra là chính xác)?

Một $n$-GON lồi không có hai cạnh song song. Cho một điểm $P$ bên trong $n$-GON, cho thấy rằng có nhiều nhất các dòng $n$ đi qua $P$ chia đôi diện tích của $n$-GON.

$p(x) = ax^2 + bx + c$ là một bậc hai thực như $|p(x)| \leq 1$ cho tất cả $|x| \leq 1$. Chứng minh rằng $|cx^2 + bx + a| \leq 2$ cho $|x| \leq 1$.

Một vị vua di chuyển trên bàn cờ $8 \times 8$. Anh ta có thể di chuyển từng hình vuông một, theo đường chéo hoặc trực giao (vì vậy cách xa các đường viền, anh ta có thể di chuyển đến bất kỳ ô nào trong số tám ô vuông). Anh ấy tạo ra một mạch hoàn chỉnh của bảng, bắt đầu và hoàn thiện trên cùng một hình vuông và thăm mọi quảng trường khác chỉ một lần. Quỹ đạo của anh ta được vẽ bằng cách nối tâm của các ô vuông mà anh ta di chuyển đến và đi cho mỗi lần di chuyển. Quỹ đạo không giao nhau. Chứng minh rằng anh ta thực hiện ít nhất 28 chuyển động song song với các cạnh của bảng (các đường khác là đường chéo) và một mạch có thể có chính xác 28 chuyển động song song với các cạnh của bảng. Nếu bảng có chiều dài bên 8, thì độ dài tối đa và tối thiểu có thể cho một quỹ đạo như vậy là bao nhiêu.

Cho 4 điểm không nằm trong một mặt phẳng, có bao nhiêu điểm song song có tất cả 4 điểm là đỉnh?

a, b, c, d, e là thực dương. cho thấy rằng $$(a + b + c + d + e)^2 \geq 4(ab + bc + cd + de + ea)$$