Tia sáng của ngọn hải đăng trên một tảng đá nhỏ xuyên qua một khoảng cách cố định $d$. Khi chùm tia quay điểm cực trị của chùm chuyển động với vận tốc $v$. Chứng minh rằng một con tàu có tốc độ tối đa là $v/8$ không thể tiếp cận với tảng đá mà không được chiếu sáng.
Các số $n^2$ $\mathbf{x}_{ij}$ thỏa mãn các phương trình $n^3$: $\mathbf{x}_{ij} + \mathbf{x}_{jk} + \mathbf{x}_{ki} = 0$. Chứng minh rằng chúng ta có thể tìm thấy các số $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n$ sao cho $\mathbf{x}_{ij} = \mathbf{a}_i - \mathbf{a}_j$.
1965 điểm có thể được sắp xếp bên trong một hình vuông có cạnh $15$ sao cho bất kỳ hình chữ nhật nào của diện tích đơn vị được đặt bên trong hình vuông với các cạnh song song với các cạnh của nó phải chứa ít nhất một trong các điểm?
Với số thực $n$ $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$, chứng minh rằng bạn có thể tìm thấy số nguyên $n$ $\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$, sao cho $|a_i - b_i| \lt 1$ và tổng của bất kỳ Tập hợp con của các số ban đầu khác với tổng của $\{b_i\}$ tương ứng nhiều nhất là $(n + 1)/4$.
Hai người chơi có bảng $3 \times 3$. Thẻ $9$, mỗi thẻ có một số khác nhau, được đặt úp trước mặt người chơi. Mỗi người chơi lần lượt lấy một thẻ và đặt nó lên bảng cho đến khi tất cả các thẻ đã được chơi. Người chơi đầu tiên thắng nếu tổng các số ở hàng đầu tiên và hàng thứ ba lớn hơn tổng ở cột thứ nhất và thứ ba, sẽ thua nếu số đó ít hơn và rút ra nếu tổng bằng nhau. Người chơi nào thắng và chiến lược chiến thắng là gì?
Số xe buýt có 6 chữ số và số 0 hàng đầu được phép. Một số được coi là may mắn nếu tổng của ba chữ số đầu tiên bằng tổng của ba chữ số cuối cùng. Chứng minh rằng tổng của tất cả các số may mắn chia hết cho 13.
Một vòng tròn mặt phẳng gián điệp điểm $A$ ở khoảng cách $10\mathrm{km}$ với tốc độ $1000\mathrm{km/h}$. Một tên lửa được bắn về phía máy bay từ $A$ với cùng tốc độ và di chuyển sao cho nó luôn nằm trên đường giữa $A$ và máy bay. Mất bao lâu để đánh?
a. Một ủy ban đã họp 40 lần, với 10 thành viên tại mỗi cuộc họp. Không có hai người nào gặp nhau nhiều hơn một lần tại các cuộc họp của ủy ban. Chứng minh rằng có hơn 60 người trong ủy ban.
b. chứng minh rằng bạn không thể thực hiện hơn 30 tiểu ban gồm 5 thành viên từ một ủy ban gồm 25 thành viên không có hai tiểu ban có nhiều hơn một thành viên chung.
Một đường tròn được khoanh tròn về tam giác $ABC$. $X$ là trung điểm của ARC $BC$ (ở phía đối diện của $BC$ đến $A$), $Y$ là điểm giữa của ARC $AC$ và $Z$ là điểm giữa của ARC $AB$. $YZ$ gặp $AB$ tại $D$ và $YX$ gặp $BC$ tại $E$. Chứng minh rằng $DE$ song song với $AC$ và $DE$ đi qua tâm của đường tròn nội tiếp của $ABC$.
a. Mỗi của $x_{1}, \ldots, x_{n}$ là $-1$, $0$ hoặc $1$. Giá trị tối thiểu có thể có của tổng của tất cả $x_{i}x_{j}$ với $1 \leq i \lt j \leq n$ là bao nhiêu?
b. là câu trả lời giống nhau nếu $x_{i}$ là số thực thỏa mãn $0 \leq |x_{i}| \leq 1$ cho $1 \leq i \leq n$?
Một tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp của một tam giác được vẽ song song với một trong các cạnh gặp hai cạnh còn lại tại $X$ và $Y$. Chiều dài tối đa $XY$ là bao nhiêu, nếu tam giác có chu vi $p$?
Một khách du lịch đến Moscow bằng tàu hỏa và đi bộ ngẫu nhiên qua các con phố bằng cách đi bộ. Sau bữa tối, anh ta quyết định quay trở lại nhà ga dọc theo các đoạn đường mà anh ta đã đi qua một số lần lẻ. chứng minh rằng điều này luôn luôn có thể. [Nói cách khác, đưa ra một đường dẫn qua biểu đồ từ $A$ đến $B$, hãy tìm một đường dẫn từ $B$ đến $A$ bao gồm các cạnh được sử dụng một số lẻ của lần trong con đường đầu tiên.]
Một người ngoài hành tinh di chuyển trên bề mặt của một hành tinh với tốc độ không vượt quá $u$. Một con tàu vũ trụ tìm kiếm người ngoài hành tinh với tốc độ $v$. Chứng minh tàu vũ trụ luôn có thể tìm thấy người ngoài hành tinh nếu $v \gt 10u$.
Cho hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau $r$ và $s$, gọi một số nguyên tốt nếu nó có thể được biểu diễn là $mr + ns$ với $m, n$ số nguyên không âm và xấu. Chứng minh rằng chúng ta có thể tìm thấy một số nguyên $c$, sao cho chỉ một trong số $k$, $c - k$ là tốt cho bất kỳ $k$ nào. Có bao nhiêu số xấu?
Một nhóm 100 người được thành lập để tuần tra các đường phố địa phương. Mỗi buổi tối có 3 người làm nhiệm vụ. Chứng minh rằng bạn không thể sắp xếp để mỗi cặp gặp nhau chỉ một lần làm nhiệm vụ.