Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Đường tròn bán kính 17 nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với cạnh $AB$ tại $P$. Biết $AP=19$, $PB=21$, tìm chu vi tam giác $ABC$.
Hình gốc (minh họa), giữ nguyên các nhãn toán học và cách bố trí.
Tứ giác lồi $ABCD$ có hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $E$. Điểm $H$ thuộc đoạn $DE$ và $AH\perp DE$. Biết $BE=ED$, $CE=9$, $EH=12$, $AH=32$ và $\angle BCA=90^\circ$, tìm $CD$.
Hình gốc (minh họa), giữ nguyên các nhãn toán học và cách bố trí.
Xác suất trời mưa vào thứ Bảy là $1/3$, vào Chủ nhật cũng là $1/3$. Xác suất có mưa vào cuối tuần bằng bao nhiêu?
Mô hình tự luyện có điều kiện: hiểu “mưa vào cuối tuần” là có mưa vào ít nhất một trong hai ngày, và giả sử hai biến cố mưa độc lập. Nguồn không nêu tính độc lập; nếu thiếu nó, bài gốc không có một xác suất duy nhất.
Trong một cuộc thi bắn, tám đĩa mục tiêu treo thành ba cột: hai cột có ba đĩa mỗi cột và một cột có hai đĩa. Mỗi lần chọn một cột rồi bắn vỡ đĩa còn nguyên thấp nhất của cột đó. Theo quy tắc này, có bao nhiêu thứ tự bắn vỡ cả tám đĩa?
Hình gốc (minh họa), giữ nguyên các nhãn toán học và cách bố trí.
Với $x,y,z\ge0$ thỏa mãn $6x+4y+z=1$, giả sử $x^3y^2z$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó $xyz=m/n$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m+n$.
Một tiếp tuyến từ điểm $M$ đến $x^2+y^2=1$ vuông góc với một tiếp tuyến từ chính điểm đó đến $x^2+y^2=3$. Quỹ tích $M$ là một đường tròn. Tìm bán kính của nó.
