SEAMO 2027 - Paper F - SET 06 - Tự luyện tập

Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.

Một mạng lưới chuyến bay nội địa được thiết lập ở Utopia. Mỗi thành phố nối trực tiếp với nhiều nhất 3 thành phố khác và từ một thành phố đến bất kỳ thành phố nào khác cần nhiều nhất 1 lần quá cảnh. Số thành phố lớn nhất có thể có là bao nhiêu?

Hiểu các đường bay là liên kết hai chiều; “nhiều nhất 1 lần quá cảnh” nghĩa là qua nhiều nhất một thành phố trung gian: từ mọi thành phố phải đến được mọi thành phố khác bằng nhiều nhất hai chuyến bay.

Trong hình, $\angle BAD=90^\circ$ và $\angle BAA'=\angle DAA'=60^\circ$. Tìm độ dài $AC'$. Các cạnh được ghi độ dài là $AB=1$, $AD=2$ và $AA'=3$.

Hiểu khối trong hình là hình hộp xiên ABCD–A′B′C′D′. Các cạnh đối diện song song và bằng nhau theo cách biểu diễn hình hộp thông thường.

Hình gốc (không đúng tỉ lệ), giữ nguyên các nhãn toán học đã in.

Cho điểm $A(2,0)$ cố định và điểm $P(\sin(2t-60^\circ),\cos(2t-60^\circ))$ di chuyển khi $t$ chạy từ $15^\circ$ đến $45^\circ$. Gọi $S$ là diện tích miền được đoạn thẳng $AP$ quét qua. Tìm $\lfloor100S\rfloor$. (Nguồn cũng dùng $A$ cho diện tích; ở đây dùng $S$ để tránh nhầm với tên điểm.)

Tìm số bộ ba có thứ tự $(a,b,c)$ gồm các số nguyên dương, $1\le a,b,c\le10$, sao cho
$$a^2+b^2+c^2+2ab+2a(c-1)+2b(c+1)$$
là một số chính phương.

Bốn người ngồi vào một hàng 10 ghế sao cho có năm ghế liên tiếp không có người ngồi. Có bao nhiêu cách sắp xếp?

Bốn người là phân biệt. “Năm ghế trống liên tiếp” nghĩa là có một dãy dài ít nhất năm ghế, vì vậy dãy sáu ghế cũng được phép.

Tính
$$\sqrt{\frac2{5-2\sqrt6}}-\sqrt{\frac2{5+2\sqrt6}}.$$

Cho $f(x)=x^2+2020x+20$. Có bao nhiêu cặp có thứ tự $(m,n)$ gồm các số nguyên dương thỏa mãn $f(m+n)=f(m)+f(n)$?

Tính số tập con gồm ba phần tử của $\{1,2,3,\ldots,99\}$ mà tổng các phần tử chia hết cho 3.

Cho
$$f(x)=\sqrt{\log_2\frac{5x+1}{4x-1}}.$$
Hàm số thực không xác định chính xác trên khoảng $m\lt x\le n$. Tìm $\lfloor m+100n\rfloor$.

Độ dài ba cạnh của một tam giác là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Gọi $A,C$ lần lượt là góc nhỏ nhất và lớn nhất. Cạnh ngắn nhất dài 16 cm và
$$\frac{\sin A-2\sin B+3\sin C}{\sin C-2\sin B+3\sin A}=\frac{19}{9}.$$
Tìm chu vi tam giác theo xentimét.

Cho $x,y$ là các số nguyên thỏa mãn $x^3+y^3=(x+y)^2$. Gọi $S$ là tập tất cả giá trị có thể có của $x+y$. Tìm tổng các phần tử của $S$.

Tung một đồng xu cho đến khi xuất hiện hai lần mặt sấp. Nếu mặt sấp đầu tiên xuất hiện ở lần tung thứ $a$ và mặt sấp thứ hai ở lần tung thứ $b$, tính xác suất $b=4a$.

Trong mô hình tự luyện có điều kiện này, giả sử đồng xu cân đối và các lần tung độc lập. Câu hỏi nguồn không nêu rõ hai giả thiết này.

Biết rằng
$$(\log_2 3)^x-(\log_5 3)^x=(\log_2 3)^{-y}-(\log_5 3)^{-y}.$$
Kết luận chính xác nhất là gì?

Xét x,y là số thực. Theo hướng dẫn ở bìa nguồn, chọn đáp án tốt nhất: chọn kết luận mạnh nhất, dù một hệ quả yếu hơn trong các lựa chọn cũng đúng.

Tìm hai chữ số cuối của $11^{2020}$.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương và $a+b+c=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của
$$\sqrt{3a+12}+\sqrt{3b+12}+\sqrt{3c+12}.$$

Cho $N=2+22+222+\cdots$, gồm 3000 số hạng. Bốn chữ số cuối của $N$ là gì?

Lát một hành lang kích thước $10\times1$ bằng nguồn cung đủ dùng các viên gạch đỏ $1\times1$, gạch đỏ $2\times1$ và gạch xanh $2\times1$. Có bao nhiêu cách lát?

Tìm số cách biểu diễn
$$2072=a\cdot10^3+b\cdot10^2+c\cdot10+d,$$
trong đó $a,b,c,d$ là các số nguyên và $0\le a,b,c,d\le99$.

Tìm ước nguyên tố nhỏ nhất của số thập phân $1\underbrace{00\cdots0}_{2020}1$, có đúng 2020 chữ số 0 giữa hai chữ số 1.

Cho
$$x=\lfloor1^{1/3}\rfloor+\lfloor2^{1/3}\rfloor+\lfloor3^{1/3}\rfloor+\cdots+\lfloor7999^{1/3}\rfloor.$$
Tìm $\lfloor x/100\rfloor$. Ký hiệu $\lfloor y\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $y$; ví dụ $\lfloor2.1\rfloor=2$, $\lfloor30\rfloor=30$, $\lfloor-10.5\rfloor=-11$.