Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Tính
$$\frac{2021^2\times2022-2023}{2022!}+\frac{2023^2\times2024-2025}{2024!}.$$
Trong tam giác $ABC$, các đoạn $AD,BE,CF$ đồng quy tại điểm $P$ bên trong, với $D\in BC$, $E\in CA$, $F\in AB$, như hình. Cho $AP=a$, $BP=b$, $CP=c$ và $DP=EP=FP=x$. Biết $x=3$, $a+b+c=20$, tính $abc$.
Hình ảnh nguồn gốc, giữ nguyên nhãn toán học đã in và mọi điểm không nhất quán đã được công bố.
Felicia có một con xúc xắc cân đối sáu mặt, bốn mặt ghi $1,2,3,4$ và hai mặt để trống. Nathan có xúc xắc cân đối sáu mặt ghi từ 1 đến 6. Patrick có xúc xắc cân đối mười hai mặt ghi từ 1 đến 12. Ba bạn lần lượt tung theo thứ tự Felicia, Nathan, Patrick cho đến khi một người thắng bằng cách tung được số 1. Nếu Felicia tung ra mặt trống, bạn ấy tiếp tục tung cho đến khi xuất hiện số. Tính xác suất Patrick thắng.
Dùng các lần tung độc lập của các xúc xắc cân đối. Mặt trống của Felicia không kết thúc lượt của bạn ấy.
$A,B,C,D$ là bốn điểm phân biệt trên một đường tròn sao cho hai dây $AB,CD$ vuông góc tại $E$.
Phần chữ trong nguồn cho $EA=4$, $EB=2$, $EC=6$, còn hình ghi $EB=24$. Tìm bán kính đường tròn theo quy ước nêu dưới đây.
Mâu thuẫn trong nguồn: phần chữ cho $EB=2$, nhưng hình gốc ghi $EB=24$. Cả hai dữ kiện đều được giữ lại. Đối với đáp án chính, theo hình và dùng $EB=24$; lời giải cũng xét giá trị theo đúng phần chữ.
Hình ảnh nguồn gốc, giữ nguyên nhãn toán học đã in và mọi điểm không nhất quán đã được công bố.
Trong tam giác $ABC$, biết $AB=12$, $BC=13$, $AC=15$. Điểm $P$ nằm trên $AC$ sao cho hai đường tròn nội tiếp các tam giác $ABP,BCP$ có bán kính bằng nhau.
Gọi $m,n$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau sao cho $AP/CP=m/n$. Tính $m+n$.
Hai đường tròn nội tiếp thuộc hai tam giác không suy biến, nên $P$ nằm giữa $A$ và $C$, không trùng hai đầu mút.
Cho $a,b,c,d$ là các số dương thỏa mãn
$$\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2}+\frac{d^2}{1+d^2}=1.$$
Nguồn gọi $k_1$ là giá trị lớn nhất của $abcd$, còn $k_2$ là giá trị nhỏ nhất của $a+b+c+d$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Nguồn gọi $k_2$ là giá trị nhỏ nhất, nhưng không được mặc nhiên cho rằng giá trị ấy tồn tại trên miền các số dương. Xét các khẳng định trên đúng miền đã cho; lời giải phân biệt giá trị nhỏ nhất với cận dưới đúng.
$ABCD$ là hình vuông có $AB=m$, còn $AEFG$ là hình chữ nhật sao cho $E$ nằm trên cạnh $BC$ và $D$ nằm trên cạnh $FG$. Biết $AE=n$, tính độ dài cạnh $EF$.
Hình ảnh nguồn gốc, giữ nguyên nhãn toán học đã in và mọi điểm không nhất quán đã được công bố.
Biết
$$\frac{\cos^4\alpha}{\cos^2\beta}+\frac{\sin^4\alpha}{\sin^2\beta}=1.$$
Tính biểu thức được nguồn in dưới dạng
$$\frac{\cos^4\beta}{\cos^2\alpha}+\frac{\sin^4\alpha\beta}{\sin^2\alpha},$$
theo đính chính ký hiệu nêu rõ dưới đây.
Đính chính ký hiệu để làm bài: tử số thứ hai trong biểu thức cần tính được nguồn in là $\sin^4\alpha\beta$, có ký hiệu thừa gây mơ hồ. Ở đây đọc là $\sin^4\beta$, nên biểu thức cần tính là $\dfrac{\cos^4\beta}{\cos^2\alpha}+\dfrac{\sin^4\beta}{\sin^2\alpha}$. Đây là cách diễn giải biên tập được nêu rõ, không phải bản chép nguyên dạng tử số ấy. Giữ nguyên mọi phương án và yêu cầu các mẫu số khác 0.
Hình ảnh nguồn gốc, giữ nguyên nhãn toán học đã in và mọi điểm không nhất quán đã được công bố.
Cho $CD$ là một dây của đường tròn $T_1$, còn $AB$ là đường kính của $T_1$ vuông góc với $CD$ tại $N$, với $AN>NB$. Đường tròn $T_2$ có tâm $C$, bán kính $CN$, cắt $T_1$ tại $P,Q$; hai đoạn $PQ,CD$ cắt nhau tại $M$. Biết bán kính của $T_1,T_2$ lần lượt là 61 và 60. Tính $AM$.
$ABCD$ là tứ giác có $AB=BC=CD=DA$ và $\angle ABC\lt 90^\circ$. Hai điểm $E,F$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $BC,CD$, đồng thời
$$AB=AE=AF=FE.$$
Tính $\angle BEF$ theo quy ước điểm nằm trong cạnh nêu dưới đây.
Nguồn viết “trên các đường thẳng”, nên cho phép điểm nằm trên phần kéo dài và không xác định duy nhất góc cần tìm. Đối với đáp án chính, bổ sung rõ giả thiết $E,F$ lần lượt nằm trong các cạnh $BC,CD$, không trùng đầu mút. Lời giải giải thích sự không duy nhất nếu đọc nguyên văn.
