SEAMO 2027 - Paper F - SET 01 - Tự luyện tập

Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.

Hai viên bi trắng, ba viên bi đen và bốn viên bi xám được chia đều cho chín học sinh. Có bao nhiêu cách chia để Bran và Sansa nhận bi cùng màu, còn Arya nhận bi xám?

Quy ước đếm: các học sinh phân biệt; những viên bi cùng màu được coi là giống nhau.

Có bao nhiêu số nguyên dương $k<100$ sao cho $2(5^{6n})+k(2^{3n+2})-1$ chia hết cho 7 với mọi số nguyên dương $n$?

Biết $x_1,x_2$ là các nghiệm thực của $2x^2-4mx+2m^2+3m-2=0$. Tìm $m$ để $x_1^2+x_2^2$ nhỏ nhất.

Quy ước: hai nghiệm thực có thể trùng nhau; nghiệm kép được tính hai lần.

Trong tam giác $ABC$, $\angle C=90^\circ$, $CA=3$, $CB=4$. Điểm $D$ thuộc $AB$ và $CD\perp AB$. Điểm $E$ thuộc $AC$ và $DE\perp CA$. Nếu $DE=m^2/n^2$, với $m,n$ nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m+n$.

Quy ước: $m,n$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.

Gọi $x_0$ là nghiệm thực lớn nhất của $x^4-16x-12=0$. Tính $\lfloor10x_0\rfloor$.

Tìm số có bốn chữ số nhỏ nhất có số ước bằng số ước của 2022.

Tính $\dfrac1{\log_{ab}(abc)}+\dfrac1{\log_{bc}(abc)}+\dfrac1{\log_{ac}(abc)}$.

Điều kiện xác định: mọi logarit và nghịch đảo của chúng phải xác định trên tập số thực. Cụ thể, $ab,bc,ac$ là các cơ số dương khác 1, còn $abc$ dương và khác 1.

Trong khai triển $f(x)=(1+ax)^4(1+bx)^5$, với $a,b$ là các số nguyên dương, hệ số của $x^2$ bằng 66. Tính $a+b$.

Cảnh báo về tính nhất quán của nguồn: dữ kiện số đã in và đáp án nguồn mâu thuẫn. Giữ nguyên biểu thức cùng mọi dữ kiện đã in, rồi đánh giá các phương án dựa trên các dữ kiện đó.

Điền các số nguyên từ 1 đến 9 vào bảng $3\times3$, mỗi số dùng đúng một lần. Tô đỏ trung vị của ba số trên từng hàng. Biết trung vị của ba số đỏ là 5, có bao nhiêu cách điền bảng?

Trong hình, $ABCD$ là hình vuông và $NC=2DN$. Điểm $M$ thuộc $AD$ sao cho $\angle NMB=\angle MBC$. Tính $\tan\angle ABM$.

Tìm số dư khi chia $10^{10^1}+10^{10^2}+10^{10^3}+\cdots+10^{10^{10}}$ cho 7.

Gọi $e_1,e_2$ lần lượt là tâm sai của elip $9x^2+4y^2=36$ và hypebol $9x^2-4y^2=36$. Phương án nào đúng?

Tìm giá trị lớn nhất của $x$ thỏa mãn $|x^2-4x-39601|\ge|x^2+4x-39601|$.

Đồng xu tròn $A$ lăn không trượt dọc theo đường tròn của đồng xu tròn $B$ đứng yên, có bán kính gấp đôi bán kính $A$. Gọi $x$ là số độ mà đồng xu $A$ quay quanh tâm của chính nó cho đến khi lần đầu trở về vị trí ban đầu. Tìm $x$.

Cách hiểu: hai đồng xu tiếp xúc ngoài; “lần đầu trở về vị trí ban đầu” là lúc tâm đồng xu chuyển động hoàn thành vòng quỹ đạo đầu tiên.

Tìm tổng tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $\dfrac{4n^3-16n^2+29n+60}{2n-3}$ là số nguyên.

Trong tam giác $ABC$, đặt $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Biết $9a^2+9b^2-19c^2=0$. Tính $\dfrac{\cot C}{\cot A+\cot B}$.

Trong khai triển $(1+x)^m(1-x)^n$, hệ số của $x$ và $x^2$ lần lượt là 3 và $-6$. Tìm $n$.

Ba bạn nữ $A,B,C$ và bảy bạn nam xếp thành một hàng. Gọi $n$ là số cách xếp sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$, đồng thời có đúng bốn bạn nam giữa $A$ và $B$. Tính $\left\lfloor n/5!\right\rfloor$.

Quy ước đếm: cả mười người đều phân biệt. Dấu ngoặc biểu thị phần nguyên, tức số nguyên lớn nhất không vượt quá giá trị bên trong.

Trong tứ giác $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau vuông góc tại $P$. Biết $\angle BAC=30^\circ$, $\angle ACD=60^\circ$, $\angle ADB=20^\circ$. Tính $\angle ABC$ theo độ.

Xét tứ giác lồi như hình: $P$ nằm trong cả hai đoạn đường chéo.

Tìm đa thức dư khi chia $(x-2)^{10}+(x-3)^{20}$ cho $x^2-5x+6$.