Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Cho hai số thực $x,y$ với $x>1$ và $y>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$\frac{\log_x2011+\log_y2011}{\log_{xy}2011}.$$
$P$ và $Q$ là tâm của hai đường tròn trong hình. Dây $AB$ tiếp xúc với đường tròn tâm $P$. Biết $PQ\parallel AB$ và $AB=24$ cm, tính diện tích phần tô màu.
Nguồn không quy định giá trị gần đúng của π. Trong câu luyện tập này, so sánh các phương án theo diện tích hình tròn chính xác; quy ước của đáp án nguồn được bàn sau khi trả lời.
Cho $x,y,z$ là các số thực nhỏ hơn $4$. Chứng minh rằng trong ba số $$\frac1x+\frac1{4-y},\qquad\frac1y+\frac1{4-z},\qquad\frac1z+\frac1{4-x}$$ có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng $1$.
Giả thiết đã in có vấn đề về miền xác định/tính đúng đắn. Giữ nguyên giả thiết ấy và xét xem kết luận cần chứng minh có suy ra hay không; chỉ ra trường hợp không xác định hoặc phản ví dụ nếu cần. Mọi điều kiện bổ sung phải được ghi rõ là sửa đề, không phải dữ kiện gốc.
Tổng của $n$ số hạng đầu tiên của dãy $\{a_n\}$ là $S_n=2a_n-1$, với $n=1,2,3,\ldots$. Dãy $\{b_n\}$ thỏa mãn $b_1=3$ và $b_{k+1}=b_k+a_k$, với $k=1,2,3,\ldots$. Tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của dãy $\{b_n\}$ khi $n=8$.
Bốn điểm $A,B,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn. $AC$ là đường kính và $AD=DC$. Diện tích tứ giác $ABCD$ bằng $20$ cm$^2$. Tìm $DE$, với $DE\perp AB$ như ký hiệu trong hình.
Quãng đường từ Georgetown đến Greenville dài $120$ km. Một xe SUV và một xe sedan cùng xuất phát từ Georgetown đến Greenville. Sau một giờ, SUV đi trước sedan $24$ km. Sedan đến nơi muộn hơn SUV $25$ phút. Tính vận tốc của sedan.
Xét hai xe chuyển động với vận tốc không đổi trong suốt hành trình, theo cách hiểu của bài toán thời gian đi này.
Hình vuông $ABCD$ và tam giác đều $PQR$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, với $AB\parallel QR$. Các cạnh $PQ,PR$ lần lượt cắt $AB$ tại $X,Y$. Tính $\tan\angle XOY$.
Hình gốc đổi chỗ X và Y so với thứ tự giao điểm trong lời đề. Giữ nguyên cả lời đề và hình gốc; dùng lời đề để đặt tên điểm. Đổi chỗ X và Y không làm thay đổi góc không định hướng XOY.
Chín thẻ ghi các số $1,2,2,3,3,3,4,5,6$. Thẻ ghi số lẻ màu đỏ, các thẻ còn lại màu xanh. Có bao nhiêu cách xếp cả chín thẻ thành một hàng sao cho số trên mỗi thẻ đỏ không lớn hơn số trên mọi thẻ đỏ ở bên phải nó?
Quy ước đếm của bản luyện tập: các thẻ cùng số và cùng màu không phân biệt; hai cách xếp khác nhau khi hàng số nhìn thấy khác nhau.
