AMO 2027 Lớp 9 SET 2 - Tự luyện tập

Năm số hạng đầu của một dãy là $5,9,16,28,47$. Tìm tổng số hạng thứ 8 và thứ 7. Trong bài tự luyện này, tiếp tục theo quy luật sai phân bậc ba không đổi.

Trong tam giác $ABC$, điểm $D$ thuộc $AB$ và $BD=3AD$. Điểm $E$ thuộc $AC$, $DE\parallel BC$. Điểm $F$ thuộc đường thẳng $DE$, $CF\parallel AB$. Tìm $EF$ nếu $BC=16$.

Cho đa thức bậc hai $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(1)=1$, $f(2)=\frac12$ và $f(3)=\frac13$. Tìm $f(4)$.

Một số chỉ gồm các chữ số 1 khi viết trong hệ cơ số 3, nhưng chữ số cuối là 0 khi viết trong hệ cơ số 2. Số có bốn chữ số trong hệ cơ số 10 lớn nhất thỏa mãn tính chất này là bao nhiêu? Nhập giá trị cơ số 10 thông thường, không thêm chữ số 0 ở đầu.

Tìm $p+q+r$ với các số nguyên dương $p,q,r$ thỏa mãn
$$\gcd(p,q)=45,\quad\gcd(q,r)=21,\quad\gcd(p,r)=3,$$
$$\operatorname{lcm}(p,q)=4725,\quad\operatorname{lcm}(q,r)=11025,$$
$$\operatorname{lcm}(p,r)=6615.$$
Ở đây gcd là ước chung lớn nhất, lcm là bội chung nhỏ nhất. Chỉ nhập tổng dưới dạng số nguyên.

Trong không gian Euclid ba chiều, cho hai vectơ $4\hat i+9\hat j-13\hat k$ và $7\hat i+6\hat k+5\hat j$. Tìm tích vô hướng của hai vectơ.

Cho $f(x)=2^x+86$, $g(x)=3x^2+x-4$. Tính $g\bigl(f^{-1}(g(14))\bigr)$. Ký hiệu $f^{-1}$ là hàm ngược của $f$, không phải nghịch đảo của giá trị hàm. Nhập giá trị số.

Tính giá trị $$\sum_{j=2}^{\infty}\left(\sum_{i=1}^{\infty}\frac1{9^i}\right)^{j/3}.$$

Cộng 1 vào tử số và 5 vào mẫu số của một phân số cho cùng kết quả với trừ 5 khỏi tử số và 1 khỏi mẫu số. Giá trị thập phân của phân số là 1.5. Phân số được viết dưới dạng nào sau đây? Các thay đổi áp dụng cho tử và mẫu đang viết, trước khi rút gọn.

Bảy giải thưởng khác nhau được trao cho bảy học sinh xuất sắc, mỗi em nhận một giải. Xác suất mọi giải đều trao sai người là $\frac ab$ ở dạng tối giản. Tìm $a+b$. Biết xác suất tương ứng với năm và sáu giải lần lượt là $\frac{11}{30}$ và $\frac{53}{144}$.

**Quy ước xác suất:** Mỗi giải có một người nhận đúng khác nhau, và mọi cách phân công một-một có cùng xác suất. Nhập số nguyên $a+b$.

Trong hình, $ABCD$ là hình vuông cạnh 6; $AHD$ và $BCG$ là hai tam giác đều bên trong hình vuông. Các giao điểm được vẽ là $I=AH\cap BG$ và $J=DH\cap CG$. Tính diện tích hình thoi $IGJH$. Chọn một phương án.

Chữ số 0 xuất hiện bao nhiêu lần khi viết các số nguyên từ 1000 đến 2021, kể cả hai đầu mút? Đếm từng lần xuất hiện, kể cả khi một số có nhiều chữ số 0. Chỉ nhập số nguyên.

Trục căn thức ở mẫu của
$$\frac1{\sqrt6-\sqrt3+\sqrt2+1}.$$
Nguồn in các biểu thức sau, được giữ nguyên để đối chiếu:
- A. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt3-\sqrt2+1}{2}$
- B. $\dfrac{\sqrt6-\sqrt3+\sqrt2+1}{2}$
- C. $\sqrt6-\sqrt3+\sqrt2+1$
- D. $\sqrt6+\sqrt3-\sqrt2+1$
- E. $\sqrt6-\sqrt3-\sqrt2+1$

Trong bản này, nhập biểu thức đã trục căn thức thay vì chữ cái đáp án. Viết kết quả dưới dạng $(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6)/e$, trong đó năm hệ số là các số nguyên không có ước chung lớn hơn 1 và $e>0$. Nhập a;b;c;d;e theo đúng thứ tự, ngăn cách bằng dấu chấm phẩy, không dùng dấu cách. Giữ đúng dấu, kể cả hệ số âm.

Cho $x^4+x^3+x^2+x+1=0$. Tìm $x^{2021}-x$.

**Quy ước miền giá trị:** Xem $x$ là một nghiệm đại số, cho phép số phức. Phương trình không có nghiệm thực. Không cần tìm các nghiệm hoặc tính toán với số phức; hãy dùng một hằng đẳng thức đa thức. Chỉ nhập giá trị tìm được.

Tứ giác ngoại tiếp $ABCD$ là tứ giác lồi có bốn cạnh tiếp xúc với một đường tròn. Biết $AD=16$, $BC=8$ và bán kính đường tròn bằng 4. Tính diện tích tứ giác. Chọn một phương án.