AMO 2027 Lớp 9 SET 1 - Tự luyện tập

Trong một dãy số, mỗi số hạng sau số đầu bằng tổng lập phương các chữ số của số hạng trước. Số hạng đầu là 457. Tìm số hạng thứ 2021.

Trong hình, $ABCD$ là hình vuông cạnh 6; $AHD$ và $BCG$ là hai tam giác đều bên trong hình vuông. Các giao điểm được vẽ là $I=AH\cap BG$ và $J=DH\cap CG$. Tính diện tích hình thoi $IGJH$. Chọn một phương án.

Cho đa thức bậc hai $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(1)=1$, $f(2)=\frac12$ và $f(3)=\frac13$. Tìm $f(4)$.

Trong không gian Euclid ba chiều, cho hai vectơ $4\hat i+9\hat j-13\hat k$ và $7\hat i+6\hat k+5\hat j$. Tìm tích vô hướng của hai vectơ.

Tìm số nguyên dương $x$ thỏa mãn
$$x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\cdots}}}}.$$
Các số dưới căn luân phiên 5 và 13 vô hạn; dùng căn bậc hai không âm. Biểu thức được hiểu là giới hạn của các căn lồng nhau cắt hữu hạn. Nhập số nguyên $x$.

Tìm $p+q+r$ với các số nguyên dương $p,q,r$ thỏa mãn
$$\gcd(p,q)=45,\quad\gcd(q,r)=21,\quad\gcd(p,r)=3,$$
$$\operatorname{lcm}(p,q)=4725,\quad\operatorname{lcm}(q,r)=11025,$$
$$\operatorname{lcm}(p,r)=6615.$$
Ở đây gcd là ước chung lớn nhất, lcm là bội chung nhỏ nhất. Chỉ nhập tổng dưới dạng số nguyên.

Chữ số 0 xuất hiện bao nhiêu lần khi viết các số nguyên từ 1000 đến 2021, kể cả hai đầu mút? Đếm từng lần xuất hiện, kể cả khi một số có nhiều chữ số 0. Chỉ nhập số nguyên.

Đề nguồn yêu cầu: “Tìm tập có thứ tự các bộ bốn số nguyên dương $[w,x,y,z]$ sao cho $w+x+y+z=21$.”

**Cách hiểu và định dạng trả lời:** Phù hợp với bảng đáp án bằng số của nguồn, bản này yêu cầu số lượng bộ bốn có thứ tự, không yêu cầu liệt kê tất cả. Mỗi thành phần ít nhất bằng 1; đổi thứ tự có thể tạo một bộ khác. Chỉ nhập số lượng dưới dạng số nguyên.

Tứ giác ngoại tiếp $ABCD$ là tứ giác lồi có bốn cạnh tiếp xúc với một đường tròn. Biết $AD=16$, $BC=8$ và bán kính đường tròn bằng 4. Tính diện tích tứ giác. Chọn một phương án.

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa
$$\frac{x}{3y+2z}+\frac{3y}{x+2z}+\frac{2z}{x+3y}=\frac32.$$
Tính $\dfrac{(7x+12y)^2}{z^2}$. Nhập số.

Một số chỉ gồm các chữ số 1 khi viết trong hệ cơ số 3, nhưng chữ số cuối là 0 khi viết trong hệ cơ số 2. Số có bốn chữ số trong hệ cơ số 10 lớn nhất thỏa mãn tính chất này là bao nhiêu? Nhập giá trị cơ số 10 thông thường, không thêm chữ số 0 ở đầu.

Các hằng số $M,N$ thỏa đồng nhất thức
$$\frac{52x+73}{14x^2+83x+33}=\frac{M}{7x+3}+\frac{N}{2x+11}.$$
Tính $MN-M-N$. Đồng nhất thức đúng với mọi $x$ thực làm các mẫu khác 0.

Cho $h(x)=2+\sqrt{x}$ và $f(h(x))=7+5\sqrt{x}+x$. Tính $f(3)$.

Cho $x^4+x^3+x^2+x+1=0$. Tìm $x^{2021}-x$.

**Quy ước miền giá trị:** Xem $x$ là một nghiệm đại số, cho phép số phức. Phương trình không có nghiệm thực. Không cần tìm các nghiệm hoặc tính toán với số phức; hãy dùng một hằng đẳng thức đa thức. Chỉ nhập giá trị tìm được.

Một con kiến đi từ $(7,10)$ đến tổ tại $(19,25)$ và phải chạm trục $x$, nơi có đường rải dọc theo trục. Quãng đường ngắn nhất là bao nhiêu? Giả sử mặt phẳng Euclid không có chướng ngại. Nhập khoảng cách theo đơn vị tọa độ.