AMO 2027 Lớp 8-9 SET 21 - Tự luyện tập

Biết $P,Q,R$ là các số nguyên tố, tìm $P$ nếu $P+Q+R=65$ và $2Q+3R=53$.

Giả sử tích $\frac{98}{100}\times\frac{97}{99}\times\frac{96}{98}\times\cdots\times\frac35\times\frac24\times\frac13$ có dạng tối giản $\frac ab$, với $a,b$ nguyên dương. Tìm $a+b-4000$.

Tính $\sqrt{4^3}-\sqrt[3]{2^6}$.

Hai đường chéo của hình diều $KITE$ vuông góc nhau. Chu vi bằng $2(\sqrt{x}+\sqrt{y})$ đơn vị. Tìm $x+y$.



**Quy ước:** $x,y$ là bình phương của hai độ dài cạnh kề khác nhau tìm từ các tam giác vuông trong hình; không biến đổi tùy ý tổng các căn. Giao điểm đường chéo chia $KT$ thành hai đoạn 2 và 2, chia $IE$ thành hai đoạn 3 và 4.

Bảy giải thưởng khác nhau được trao cho bảy học sinh xuất sắc, mỗi em nhận một giải. Xác suất mọi giải đều trao sai người là $\frac ab$ ở dạng tối giản. Tìm $a+b$. Biết xác suất tương ứng với năm và sáu giải lần lượt là $\frac{11}{30}$ và $\frac{53}{144}$.

**Quy ước xác suất:** Mỗi giải có một người nhận đúng khác nhau, và mọi cách phân công một-một có cùng xác suất. Nhập số nguyên $a+b$.

Trong số có ba chữ số $\overline{XYZ}$, các chữ số khác 0 là $X,Y,Z$, theo thứ tự đó, lập thành cấp số cộng. Nếu $\overline{XYZ}-\overline{ZXY}=M$, tìm giá trị lớn nhất có ba chữ số của $M$.

Dấu gạch trên biểu thị số thập phân, không phải tích. Nhập số nguyên $M$.

Tính $(\sqrt[3]{7}-1)(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}+1)$.

Có bao nhiêu vòng cổ khác nhau gồm bảy hạt cách đều nhau, có bảy màu khác nhau, mỗi màu một hạt?

**Quy ước tương đương:** Quay hoặc lật vòng cổ không tạo vòng mới; hai hình đối xứng gương được xem là cùng một vòng.

Tính $1-2+3-4+5-6+\cdots+99-100+101$.

Xác định số lượng các số nguyên không âm $M$ thỏa mãn đúng ba trong bốn mệnh đề:
1. $M$ là số nguyên tố.
2. $M+3$ là số nguyên tố.
3. $1\lt \sqrt M\lt 8$.
4. $M+5$ có số lượng ước là số lẻ.

**Dạng trả lời:** Nhập số lượng số nguyên thỏa mãn, không nhập một ví dụ về $M$. Các ước là ước nguyên dương; 1 không phải số nguyên tố.

Trong hình chữ nhật $ABCD$, $X$ là trung điểm $AB$, $Y$ là trung điểm $AD$. Tính diện tích tam giác $XYC$ theo $\mathrm{cm}^2$ nếu diện tích hình chữ nhật bằng $880\mathrm{\ cm}^2$.



Chỉ nhập giá trị số của diện tích.

Lớp có 50 học sinh, 15 em thích Toán, 27 em thích tiếng Anh, 13 em không thích môn nào trong hai môn. Có bao nhiêu em thích cả Toán lẫn tiếng Anh? Nhập số học sinh.

Tìm số nguyên dương $x$ thỏa mãn
$$x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\cdots}}}}.$$
Các số dưới căn luân phiên 5 và 13 vô hạn; dùng căn bậc hai không âm. Biểu thức được hiểu là giới hạn của các căn lồng nhau cắt hữu hạn. Nhập số nguyên $x$.

Trong tam giác $ABC$, điểm $D$ thuộc $AB$ và $BD=3AD$. Điểm $E$ thuộc $AC$, $DE\parallel BC$. Điểm $F$ thuộc đường thẳng $DE$, $CF\parallel AB$. Tìm $EF$ nếu $BC=16$.

Đếm các số chính phương nằm giữa $6^4+1$ và $4^6-1$.