Câu hỏi 12
Đường tròn $C_0$ có bán kính $1,$ và điểm $A_0$ là một điểm trên đường tròn. Đường tròn $C_1$ có bán kính $r \lt 1$ và tiếp tuyến nội bộ với $C_0$ tại điểm $A_0.$ Điểm $A_1$ nằm trên đường tròn $C_1$ sao cho $A_1$ nằm trên $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ từ $A_0$ trên $C_1.$ Đường tròn $C_2$ có bán kính $r^2$ và tiếp tuyến nội bộ với $C_1$ tại điểm $A_1.$ Theo cách này, một chuỗi các đường tròn $C_1,$ $C_2,$ $C_3,$ $\ldots$ và một chuỗi các điểm trên các đường tròn $A_1,$ $A_2,$ $A_3,$ $\ldots$ được xây dựng, trong đó đường tròn $C_n$ có bán kính $r^n$ và nằm bên trong tiếp tuyến với đường tròn $C_{n-1}$ tại điểm $A_{n-1},$ và điểm $A_n$ nằm trên $C_n$ $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ từ điểm $A_{n-1},$ như trong hình bên dưới. Có một điểm $B$ bên trong tất cả các vòng tròn này. Khi $r = \frac{11}{60},$ khoảng cách từ tâm của $C_0$ đến $B$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
