USAJMO 2019 Câu hỏi 1

Có $a+b$ bát xếp thành hàng, đánh số từ $1$ đến $a+b$, với $a,b$ nguyên dương. Ban đầu mỗi bát trong $a$ bát đầu chứa một quả táo, mỗi bát trong $b$ bát cuối chứa một quả lê. Mỗi bước hợp lệ chuyển một táo từ bát $i$ sang $i+1$ và một lê từ bát $j$ sang $j-1$, với $i-j$ chẵn. Một bát có thể chứa nhiều quả. Chứng minh có thể đưa mỗi bát trong $b$ bát đầu về một lê và mỗi bát trong $a$ bát cuối về một táo khi và chỉ khi $ab$ chẵn.

Tác giả đề bài: Jim Propp. Tuyển tập lời giải bên thứ ba của Evan Chen; thảo luận nguồn https://aops.com/community/p12189456.