USAJMO 2015 Câu hỏi 3

Tứ giác $APBQ$ nội tiếp đường tròn $\omega$, có $\angle P=\angle Q=90^\circ$ và $AP=AQ\lt BP$. Điểm $X$ thay đổi trên đoạn $PQ$. Đường $AX$ cắt lại $\omega$ tại $S\ne A$. Điểm $T$ nằm trên cung $AQB$ sao cho $XT\perp AX$. Gọi $M$ là trung điểm dây $ST$. Chứng minh rằng khi $X$ thay đổi, $M$ nằm trên một đường tròn cố định.

Tác giả đề bài: Zuming Feng, Jacek Fabrykowski (theo Evan Chen).