USAMO 2013 — Ngày 1 và Ngày 2 Câu hỏi 2

Với $n\ge3$, đặt $n$ điểm cách đều trên một đường tròn, đánh dấu một điểm là $A$ và đặt quân ở đó. Mỗi nước đi theo chiều kim đồng hồ đến điểm kế tiếp hoặc điểm sau điểm kế tiếp; có $2n$ nước đi có hướng phân biệt. Gọi $a_n$ là số cách đi đúng hai vòng từ $A$ về $A$ mà không lặp lại nước đi nào. Chứng minh $a_{n-1}+a_n=2^n$ với mọi $n\ge4$.

Tác giả đề bài: Kiran Kedlaya (theo tài liệu được cung cấp).