USAMO 2001 — Ngày 1 và Ngày 2

Mỗi trong tám hộp chứa sáu quả bóng. Mỗi quả mang một trong $n$ màu, sao cho trong một hộp không có hai quả cùng màu và không có hai màu nào cùng xuất hiện trong nhiều hơn một hộp. Tìm và chứng minh giá trị nhỏ nhất có thể của $n$.

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $\omega$. Gọi $D_1,E_1$ lần lượt là tiếp điểm của $\omega$ với $BC,AC$. Lấy $D_2\in BC$, $E_2\in AC$ sao cho $CD_2=BD_1$ và $CE_2=AE_1$. Gọi $P$ là giao điểm hai đoạn $AD_2,BE_2$. Đường tròn $\omega$ cắt đoạn $AD_2$ tại hai điểm; gọi điểm gần $A$ hơn là $Q$. Chứng minh $AQ=D_2P$.

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh
\[0\le ab+bc+ca-abc\le2.\]

Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ sao cho $PA,PB,PC$ là độ dài ba cạnh của một tam giác tù, trong đó $PA$ là cạnh dài nhất. Chứng minh góc $BAC$ nhọn.

Cho $S\subseteq\mathbb Z$ thỏa mãn:

(a) Tồn tại $a,b\in S$ sao cho $\gcd(a,b)=\gcd(a-2,b-2)=1$.

(b) Nếu $x,y\in S$ (có thể bằng nhau) thì $x^2-y\in S$.

Chứng minh $S=\mathbb Z$.

Mỗi điểm trên mặt phẳng được gán một số thực. Giả sử với mọi tam giác không suy biến, số tại tâm nội tiếp bằng trung bình cộng của ba số tại ba đỉnh. Chứng minh mọi điểm trên mặt phẳng đều được gán cùng một số.