Câu hỏi 1
Cho số thực $p$ sao cho phương trình $x^2-10x=p$ không có nghiệm thực. Khẳng định nào sau đây đúng?
SMO 2021 - Senior - Vòng 1
Câu hỏi 2
Biểu thức nào sau đây lớn nhất?
Câu hỏi 3
Tính $2021^{(\log_{2021}2020)(\log_{2020}2019)(\log_{2019}2018)}$.
Câu hỏi 4
Giả sử $\sin\theta=\frac{n-3}{n+5}$ và $\cos\theta=\frac{4-2n}{n+5}$ với số nguyên $n$. Tìm giá trị lớn nhất của $160\tan^2\theta$.
Câu hỏi 5
Chọn tất cả các bất đẳng thức đúng với mọi số thực $x,y$.
(i) $x\le x^2+y^2$
(ii) $xy\le x^2+y^2$
(iii) $x-y\le x^2+y^2$
(iv) $y+xy\le x^2+y^2$
(v) $x+y-1\le x^2+y^2$
(i) $x\le x^2+y^2$
(ii) $xy\le x^2+y^2$
(iii) $x-y\le x^2+y^2$
(iv) $y+xy\le x^2+y^2$
(v) $x+y-1\le x^2+y^2$
Câu hỏi 6
Cho số nguyên $x$ thỏa $x=5^{\sqrt{2+4\log_x5}}$. Tìm $x$.
Câu hỏi 7
Nếu $\cos A-\cos B=\frac12$ và $\sin A-\sin B=-\frac14$, tính $100\sin(A+B)$.
Câu hỏi 8
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left(\sqrt[3]{x}+\frac1{\sqrt{x}}\right)^6\left(\sqrt{x}+\frac1x\right)^{10}$.
Câu hỏi 9
Đa thức bậc hai $P(x)=ax^2+bx+c$, với $a\ne0$, thỏa $P(n)=1/n^2$ cho $n=-1,2,3$. Tìm giá trị dương nhỏ nhất của $k$, với $k\ne2,3$, sao cho $P(k)=1/k^2$.
Câu hỏi 10
Hình sau cho tam giác $ABC$ với $AD,BE$ lần lượt là các đường cao xuống $BC,CA$. Hai đường thẳng $AD,BE$ cắt nhau tại $H$. Tính diện tích tam giác $ABC$ (cm$^2$), biết $AH=50$ cm, $DH=18$ cm và $BH=EH$.
Câu hỏi 11
Trong hình, $\angle GCB=\angle ACE=\angle DFE=90^\circ$ và $\angle GBC=\angle EAC=\angle EDF=\theta^\circ$. Biết $GB=6$ cm, $AE=10$ cm, $DE=8$ cm. Gọi $S$ là tổng diện tích hai tam giác $ABC,CDE$. Tìm giá trị lớn nhất của $S$ (cm$^2$).
Câu hỏi 12
Tìm tổng tất cả nghiệm của phương trình $\sqrt[3]{x-110}-\sqrt[3]{x-381}=1$.
Câu hỏi 13
Cho $f(x)=\left(2x+4+\frac{x-2}{x+3}\right)^2$, với $-2\le x\le2$. Tìm giá trị lớn nhất của $f(x)$.
Câu hỏi 14
Cho $$D=\sqrt{\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}}$$ với $x,y$ thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của $D^8$.
Câu hỏi 15
Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac8{\sin2\theta}+12\tan\theta$, với $0\lt\theta\lt\frac\pi2$.
Câu hỏi 16
Tìm góc $\theta$ lớn nhất (độ), với $0^\circ\le\theta\le360^\circ$, sao cho $$\sin(\theta+18^\circ)+\sin(\theta+162^\circ)+\sin(\theta+234^\circ)+\sin(\theta+306^\circ)$$ $$=1+\cos(\theta+60^\circ)+\cos(\theta+300^\circ).$$
Câu hỏi 17
Cho $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $\angle ABC=30^\circ$. Điểm $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $AD$ bằng bán kính đường tròn. Tính $\angle ADO$ (độ), biết $\angle OAB=10^\circ$.
Câu hỏi 18
Hàm $f$ thỏa $f(x)f(x+1)=x^2+3x$ với mọi số thực $x$. Nếu $f(1)+f(2)=\frac{25}{6}$ và $0\lt f(1)\lt2$, hãy tính $11\times f(10)$.
Câu hỏi 19
Tính $$\frac1{\sin^2 0.5^\circ}-\tan^2 0.5^\circ+\frac1{\sin^2 1.5^\circ}-\tan^2 1.5^\circ+\frac1{\sin^2 2.5^\circ}-\tan^2 2.5^\circ+\cdots+\frac1{\sin^2 179.5^\circ}-\tan^2 179.5^\circ.$$
Câu hỏi 20
Cho ba số nguyên phân biệt $a_1,a_2,a_3$ với $1000>a_1>a_2>a_3>0$. Giả sử có các số thực $x,y,z$ thỏa $$\begin{aligned}(a_1-a_2)y+(a_1-a_3)z&=a_1+a_2+a_3,\\(a_1-a_2)x+(a_2-a_3)z&=a_1+a_2+a_3,\\(a_1-a_3)x+(a_2-a_3)y&=a_1+a_2+a_3.\end{aligned}$$ Tìm giá trị lớn nhất của $x+y+z$.