SMO 2017 - Senior - Vòng 2

Cho $n$ là số nguyên dương và $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ là $2n$ số nguyên phân biệt. Biết phương trình $$|x-a_1||x-a_2|\cdots|x-a_{2n}|=(n!)^2$$ có nghiệm nguyên $x=m$. Hãy biểu diễn $m$ theo $a_1,\ldots,a_{2n}$.

Trong tứ giác nội tiếp $ABCD$, các đường thẳng chứa các cạnh $AB,DC$ cắt nhau tại $Q$, các đường thẳng chứa các cạnh $AD,BC$ cắt nhau tại $P$, và $M$ là trung điểm $BD$. Nếu $\angle APQ=90^\circ$, chứng minh $PM$ vuông góc với $AB$.

Có $2017$ điểm phân biệt trên mặt phẳng. Với mỗi cặp điểm, dựng trung điểm của đoạn thẳng nối chúng. Trong mọi cách bố trí các điểm, số trung điểm phân biệt nhỏ nhất có thể có là bao nhiêu?

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb Z^+\to\mathbb Z^+$ sao cho $f(k+1)>f(f(k))$ với mọi $k\ge1$, trong đó $\mathbb Z^+$ là tập các số nguyên dương.

Cho $7$ số nguyên dương phân biệt. Chứng minh tồn tại một cấp số cộng vô hạn gồm các số nguyên dương $a,a+d,a+2d,\ldots$, với $a\le d$, chứa đúng $3$ hoặc $4$ trong $7$ số đã cho.