AIME năm 1998

Với bao nhiêu giá trị của $k$ thì $12^{12}$ là bội số ít phổ biến nhất trong số các số nguyên dương $6^6,$ $8^8,$ và $k?$

Tìm số cặp có thứ tự $(x, y)$ của các số nguyên dương thỏa mãn $x \le 2y \le 60$ và $y \le 2x \le 60.$

Đồ thị $y^2 + 2xy + 40|x| = 400$ chia mặt phẳng thành nhiều vùng. diện tích của vùng giới hạn là gì?

Chín ô được đánh số lần lượt là $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $9,$. Mỗi người trong số ba người chơi chọn ngẫu nhiên và giữ ba ô rồi tính tổng ba giá trị đó. xác suất mà cả ba người chơi đều nhận được tổng lẻ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Cho rằng $A_k = \frac{k(k - 1)}{2}\cos\frac{k(k - 1)\pi}{2},$ tìm $|A_{19} + A_{20} + \cdots + A_{98}|.$

Cho $ABCD$ là hình bình hành. Kéo dài $\overline{DA}$ đến $A$ đến một điểm $P,$ và để $\overline{PC}$ gặp $\overline{AB}$ tại $Q$ và $\overline{DB}$ tại $R.$ Cho rằng $PQ = 735$ và $QR = 112,$ tìm $RC.$

Đặt $n$ là số bộ tứ có thứ tự $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ của các số nguyên dương lẻ thỏa mãn $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 98.$ Tìm $\frac{n}{100}.$

Ngoại trừ hai số hạng đầu tiên, mỗi số hạng của dãy $1000,$ $x,$ $1000 - x,$ $\ldots$ có được bằng cách trừ số hạng trước đó khỏi số hạng trước đó. Số hạng cuối cùng của dãy là số hạng phủ định đầu tiên gặp phải. Số nguyên dương nào $x$ tạo ra một chuỗi có độ dài tối đa?

Hai nhà toán học nghỉ giải lao buổi sáng mỗi ngày. Họ đến quán cà phê một cách độc lập, vào những thời điểm ngẫu nhiên trong khoảng thời gian từ $9$ sáng đến $10$ sáng và ở lại đúng $m$ phút. xác suất mà một trong hai người đến trong khi người kia đang ở trong căng tin là $40\%,$ và $m = a - b\sqrt{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ nguyên tố. Tìm $a + b + c.$

Tám quả cầu có bán kính $100$ được đặt trên một mặt phẳng sao cho mỗi quả cầu tiếp xúc với hai quả cầu khác và tâm của chúng là các đỉnh của một hình bát giác đều. Quả cầu thứ chín được đặt trên một mặt phẳng sao cho nó tiếp xúc với tám quả cầu còn lại. Bán kính của hình cầu cuối cùng này là $a + b\sqrt{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c.$

Ba cạnh của hình lập phương là $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ và $\overline{CD},$ và $\overline{AD}$ là đường chéo trong. Điểm $P,$ $Q,$ và $R$ lần lượt nằm trên $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ và $\overline{CD},$, do đó $AP = 5,$ $PB = 15,$ $BQ = 15,$ và $CR = 10.$ diện tích của đa giác là giao điểm của mặt phẳng $PQR$ và khối lập phương là gì?

Giả sử $ABC$ là đều, và $D,$ $E,$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ và $\overline{AB},$. Tồn tại các điểm $P,$ $Q,$ và $R$ trên $\overline{DE},$ $\overline{EF},$ và $\overline{FD},$ tương ứng với thuộc tính $P$ nằm trên $\overline{CQ},$ $Q$ được bật $\overline{AR},$ và $R$ nằm trên $\overline{BP}.$ Tỷ lệ của diện tích của tam giác $ABC$ với diện tích của tam giác $PQR$ là $a + b\sqrt{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. $a^2 + b^2 + c^2?$ là gì

Nếu $\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\}$ là một tập hợp các số thực, được lập chỉ mục sao cho $a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt \cdots \lt a_n,$ tổng lũy thừa phức của nó được xác định là $a_1 i + a_2 i^2 + a_3 i^3 + \cdots + a_n i^n,$ trong đó $i^2 = -1.$ Đặt $S_n$ là tổng của tổng lũy thừa phức của tất cả các tập con khác rỗng của $\{1, 2, \ldots, n\}.$ Cho rằng $S_8 = -176 - 64i$ và $S_9 = p + qi,$ trong đó $p$ và $q$ là số nguyên, tìm $|p| + |q|.$

Hộp hình chữ nhật $m \times n \times p$ có một nửa thể tích của hộp hình chữ nhật $(m + 2) \times (n + 2) \times (p + 2)$, trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là số nguyên và $m \le n \le p.$ Giá trị lớn nhất có thể có của $p?$ là bao nhiêu?

Định nghĩa một quân domino là một cặp số nguyên dương phân biệt có thứ tự. Một chuỗi domino thích hợp là một danh sách các domino riêng biệt trong đó tọa độ đầu tiên của mỗi cặp sau cặp đầu tiên bằng tọa độ thứ hai của cặp trước đó và trong đó $(i, j)$ và $(j, i)$ không xuất hiện cho bất kỳ $i$ và $j.$ Giả sử $D_{40}$ là tập hợp tất cả các domino có tọa độ không có lớn hơn $40.$ Tìm độ dài của chuỗi domino thích hợp dài nhất có thể được hình thành bằng cách sử dụng các domino của $D_{40}.$