Câu hỏi 1
Biết rằng $\mathrm{I}^2=\overline{\mathrm{ME}}$ và $\mathrm{I}^3=\overline{\mathrm{YOU}}$. Mỗi chữ cái khác nhau biểu diễn một chữ số khác nhau sao cho các phép tính đúng. Giá trị của $\mathrm{E}$ bằng bao nhiêu?
SMO 2016 - Junior - Vòng 1
Câu hỏi 2
Cho ba số nguyên. Ta lập ba số nguyên mới bằng cách cộng trung bình cộng của hai số bất kỳ với số còn lại. Nếu ba số mới là 33, 35 và 40, hãy tìm trung bình cộng của ba số ban đầu.
Câu hỏi 3
Cho hình chữ nhật $ABCD$, điểm $E$ trên $BC$ thỏa mãn $BE=2EC$, và điểm $F$ trên $AE$ thỏa mãn $AF=3FE$. Nếu diện tích $ABCD$ bằng $1200$, diện tích tứ giác $DFEC$ bằng bao nhiêu?
Câu hỏi 4
Hình vẽ cho thấy hình vuông $ABCD$ nội tiếp một nửa đường tròn tâm $O$, và hình vuông $PQRS$ nội tiếp cả đường tròn có cùng tâm. Nếu diện tích $ABCD$ bằng $16$, hãy tìm diện tích $PQRS$.
Câu hỏi 5
$ABCD$ là hình bình hành. Điểm $E$ trên cạnh $AB$ sao cho tỉ số diện tích tứ giác $AECD$ và diện tích tam giác $ABC$ là $7:5$. Tỉ số $AE:EB$ bằng
Câu hỏi 6
Trong hình, $D$ là trung điểm của $AB$, $EF=2CF$ và $AF$ song song với $DE$. Biết diện tích tam giác $GFC$ bằng $4$, hãy tìm diện tích tam giác $ADG$.
Câu hỏi 7
Trong năm số sau, số nào có giá trị lớn nhất?
Câu hỏi 8
Hai số thực $u$ và $v$ lần lượt thỏa mãn các phương trình $$2015u^2+2016u+1=0;\qquad v^2+2016v+2015=0.$$ Nếu $uv\ne1$, hãy tính $\frac uv$.
Câu hỏi 9
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực $x+2016-\sqrt{2x-3}$.
Câu hỏi 10
Số $123456789101112\ldots$ được tạo thành bằng cách viết liên tiếp các số nguyên $1,2,3,\ldots$ cho đến khi có 201 chữ số. Tìm số dư khi chia số này cho 9.
Câu hỏi 11
Nếu tổng và tích của hai số thực dương đều bằng 13, hãy tìm tổng bình phương của hai số đó.
Câu hỏi 12
Cho số nguyên dương $x$. Nếu ước chung lớn nhất của $x$ và $168$ là $12$, và ước chung lớn nhất của $x$ và $270$ là $18$, hãy tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $x$.
Câu hỏi 13
Trong hình, $AB$, $AC$, $CD$ và $DB$ lần lượt là đường kính của các đường tròn $c_1,c_2,c_3,c_4$. Nếu chu vi đường tròn $c_1$ bằng $2016$, tổng chu vi cả bốn đường tròn bằng bao nhiêu?
Câu hỏi 14
Tìm số nguyên gần nhất với $10\sqrt{0.7}+10\sqrt{2.8}$.
Câu hỏi 15
Trong hình dưới, mỗi chữ cái khác nhau biểu diễn một chữ số khác nhau sao cho phép cộng đúng. Số có năm chữ số được biểu diễn bởi $\mathrm{SIXTY}$ là số nào? Phép cộng trong hình là $\overline{\mathrm{FORTY}}+\overline{\mathrm{TEN}}+\overline{\mathrm{TEN}}=\overline{\mathrm{SIXTY}}$.
Câu hỏi 16
Trong hình, $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=34$ và $BC=12$. Các điểm $P,Q$ lần lượt thuộc $AB,CD$ sao cho $\angle CPQ$ và $\angle PQA$ là góc vuông. Tìm tổng hai độ dài có thể có của $AP$.
Câu hỏi 17
Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $$ab+ac=144,\qquad ab+bc=209,\qquad ac+bc=221.$$ Tính $a^2+b^2+c^2$.
Câu hỏi 18
$P,Q$ là hai đa giác đều lần lượt có $n,m$ cạnh. Tỉ số các góc trong của $P$ và $Q$ là $4:3$. Nếu $n\gt m$, có bao nhiêu cặp $(n,m)$ có thể xảy ra?
Câu hỏi 19
Cho các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $x\gt y$ và $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2000}.$$ Có bao nhiêu giá trị khác nhau mà $x$ có thể nhận?
Câu hỏi 20
Hình vẽ cho thấy hình chữ nhật kích thước $12$ và $9$, được hai đoạn thẳng song song chia thành ba phần có diện tích bằng nhau. Gọi $h$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song. Tính $30h^2$.
