AIME năm 1990

Dãy số tăng $2,$ $3,$ $5,$ $6,$ $7,$ $10,$ $11,$ $\ldots$ bao gồm tất cả các số nguyên dương không phải là bình phương hay lập phương của một số nguyên dương. Tìm số hạng thứ $500$của dãy này.

Tìm giá trị của $$
\begin{aligned}&(52+6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}\\&\quad-(52-6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}.\end{aligned}
$$

Giả sử $P_1$ là một $r$-gon đều và $P_2$ là một $s$-gon $(r\geq s\geq3)$ sao cho mỗi góc trong của $P_1$ là $\frac{59}{58}$ lớn bằng mỗi góc trong của $P_2.$ giá trị lớn nhất có thể của $s?$

Tìm nghiệm dương của $$
\begin{aligned}&\frac1{x^2-10x-29}\\&\quad+\frac1{x^2-10x-45}\\&\quad-\frac2{x^2-10x-69}=0.\end{aligned}
$$

Giả sử $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất là bội số của $75$ và có chính xác $75$ ước số nguyên dương, bao gồm $1$ và chính nó. Tìm $\frac{n}{75}.$

Một nhà sinh vật học muốn tính số lượng cá trong hồ. Vào tháng 5, $1$ cô bắt ngẫu nhiên một mẫu cá $60$, gắn thẻ và thả chúng ra. Vào tháng 9, $1$ cô bắt được một mẫu cá $70$ ngẫu nhiên và thấy rằng $3$ trong số chúng đã được gắn thẻ. Để tính số lượng cá trong hồ vào tháng 5 $1,$ cô giả định rằng $25\%$ trong số những con cá này không còn ở hồ vào tháng 9 $1$ (vì cái chết và sự di cư), class="notranslate">$40\%$ số cá không có trong hồ Tháng 5 $1$ (do sinh sản và nhập cư), đồng thời số lượng cá không được gắn thẻ và cá được gắn thẻ trong mẫu $1$ tháng 9 là đại diện cho tổng quần thể. Nhà sinh vật học tính toán số lượng cá trong hồ vào tháng 5 $1?$

Một tam giác có các đỉnh $P=(-8,5),$ $Q=(-15,-19),$ và $R=(1,-7).$ Phương trình đường phân giác của $\angle P$ có thể viết dưới dạng $ax+2y+c=0.$ Tìm $a+c.$

Trong một trận đấu bắn súng, tám mục tiêu đất sét được xếp thành hai cột treo, mỗi cột ba mục tiêu và một cột có hai mục tiêu. Một xạ thủ phải phá vỡ tất cả các mục tiêu theo các quy tắc sau:

$(1)$ Trước tiên, xạ thủ sẽ chọn một cột mà mục tiêu sẽ bị phá vỡ.

$(2)$ Sau đó, xạ thủ phải tiêu diệt mục tiêu thấp nhất còn lại trong cột đã chọn.

Nếu tuân theo các quy tắc thì tám mục tiêu có thể bị phá vỡ theo bao nhiêu thứ tự khác nhau?

Một đồng xu công bằng sẽ được tung $10$ lần. Giả sử $\frac{i}{j},$ ở mức thấp nhất, là xác suất không bao giờ xuất hiện trong các lần tung liên tiếp. Tìm $i+j.$

Các tập $A=\{z:z^{18}=1\}$ và $B=\{w:w^{48}=1\}$ đều là các tập nghiệm phức của đơn vị. Tập hợp $C=\{zw:z\in A,\ w\in B\}$ cũng là một tập hợp các nghiệm phức của đơn vị. Có bao nhiêu phần tử riêng biệt trong $C?$

Có người đã quan sát thấy rằng $6!=8\cdot9\cdot10.$ Tìm số nguyên dương lớn nhất $n$ mà $n!$ có thể được biểu thị dưới dạng tích của $n-3$ các số nguyên dương liên tiếp.

Một $12$-giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính $12.$ Tổng độ dài tất cả các cạnh và đường chéo của $12$-giác có thể được viết dưới dạng $$
a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6,
$$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là số nguyên dương. Tìm $a+b+c+d.$

Đặt $T$ là tập hợp các lũy thừa $9^k,$ trong đó $k$ là một số nguyên với $0\leq k\leq4000.$ Cho rằng $9^{4000}$ có $3817$ chữ số và chữ số đầu tiên (ngoài cùng bên trái) của nó là $9,$ có bao nhiêu phần tử của $T$ có $9$ là chữ số ngoài cùng bên trái của chúng?

Hình chữ nhật $ABCD$ bên dưới có kích thước $AB=12\sqrt3$ và $BC=13\sqrt3.$ Đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $P.$ Nếu tam giác $ABP$ bị cắt và loại bỏ, các cạnh $AP$ và $BP$ được nối và hình này sau đó được tạo nếp dọc theo các đoạn $CP$ và $DP,$, chúng ta thu được một hình chóp tam giác, cả bốn mặt đều là hình tam giác cân. Tìm thể tích của kim tự tháp này.

Tìm $ax^5+by^5$ nếu các số thực $a,$ $b,$ $x,$ và $y$ thỏa mãn phương trình $$
\begin{aligned}ax+by&=3,\\ax^2+by^2&=7,\\ax^3+by^3&=16,\\ax^4+by^4&=42.\end{aligned}
$$