APMO 2014 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương Câu hỏi 5

Hai đường tròn $\omega,\Omega$ cắt nhau tại $A,B$. Gọi $M$ là trung điểm cung $AB$ của $\omega$ nằm trong $\Omega$. Một dây $MP$ của $\omega$ cắt $\Omega$ tại $Q$ nằm trong $\omega$. Gọi $\ell_P$ là tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$, $\ell_Q$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $Q$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi $\ell_P,\ell_Q,AB$ tiếp xúc với $\Omega$.

Đề xuất bởi Ilya Bogdanov, Nga, và Medeubek Kungozhin, Kazakhstan.

Hình dựng bổ sung: