APMO 2006 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương

Cho số nguyên dương $n$. Tìm số thực không âm lớn nhất $f(n)$ (phụ thuộc vào $n$) có tính chất: với mọi số thực $a_1,a_2,\ldots,a_n$ mà $a_1+a_2+\cdots+a_n$ là số nguyên, tồn tại chỉ số $i$ sao cho $|a_i-1/2|\ge f(n)$.

Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều viết được thành tổng hữu hạn của các lũy thừa nguyên đôi một khác nhau của tỉ số vàng $\tau=(1+\sqrt5)/2$. Ở đây lũy thừa nguyên có dạng $\tau^i$, với $i$ là số nguyên, không nhất thiết dương.

Cho số nguyên tố $p\ge5$ và gọi $r$ là số cách đặt $p$ quân cờ trên bàn cờ $p\times p$ sao cho không phải tất cả quân cờ nằm cùng một hàng (nhưng có thể cùng một cột). Chứng minh $r$ chia hết cho $p^5$. Các quân cờ được coi là giống hệt nhau.

Cho hai điểm phân biệt $A,B$ trên đường tròn $O$, và $P$ là trung điểm $AB$. Gọi $O_1$ là đường tròn tiếp xúc đường thẳng $AB$ tại $P$ và tiếp xúc đường tròn $O$. Gọi $\ell$ là tiếp tuyến của $O_1$ qua $A$, khác $AB$. Đường thẳng $\ell$ cắt lại $O$ tại $C\ne A$. Gọi $Q$ là trung điểm $BC$, còn $O_2$ là đường tròn tiếp xúc đường thẳng $BC$ tại $Q$ và tiếp xúc đoạn $AC$. Chứng minh $O_2$ tiếp xúc $O$.

Trong một rạp xiếc có $n$ chú hề dùng một bộ 12 màu khác nhau để mặc trang phục và hóa trang. Mỗi người phải dùng ít nhất năm màu khác nhau. Một hôm, chủ rạp yêu cầu không có hai người nào dùng đúng cùng một tập màu, và mỗi màu được nhiều nhất 20 người sử dụng. Tìm số $n$ lớn nhất để thực hiện được yêu cầu này.