APMO 1994 - Olympic Toán châu Á - Thái Bình Dương

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn:
(i) $f(x)+f(y)+1\ge f(x+y)\ge f(x)+f(y)$ với mọi $x,y$ thực;
(ii) $f(0)\ge f(x)$ với mọi $x\in[0,1)$;
(iii) $-f(-1)=f(1)=1$.

Cho tam giác không suy biến $ABC$ có tâm ngoại tiếp $O$, trực tâm $H$ và bán kính ngoại tiếp $R$. Chứng minh $|OH|\lt 3R$.

Cho $n=a^2+b^2$, trong đó $a,b$ là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau. Giả sử tích $ab$ chia hết cho mọi số nguyên tố $p\le\sqrt n$. Tìm tất cả các số nguyên $n$ như vậy.

Có tồn tại một tập vô hạn các điểm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm thẳng hàng và khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ đều là số hữu tỉ không?

Danh sách $A$ gồm các số $10^k$ viết trong hệ thập phân, với $k\ge1$ nguyên. Hai danh sách $B,C$ chứa các số ấy viết lần lượt trong hệ cơ số $2,5$. Các phần tử đầu là: $10\leftrightarrow1010_2\leftrightarrow20_5$; $100\leftrightarrow1100100_2\leftrightarrow400_5$; $1000\leftrightarrow1111101000_2\leftrightarrow13000_5$.
Chứng minh với mọi số nguyên $n\gt 1$, có đúng một phần tử trong đúng một trong hai danh sách $B,C$ có đúng $n$ chữ số.