Hàm số $F$, khi áp dụng cho một số nguyên dương có bốn chữ số $\overline{abcd}$, cho một số nguyên dương khác theo quy tắc: $F(\overline{abcd})=a^4+b^3+c^2+d^1$. Ví dụ, $F(2019)=2^4+0^3+1^2+9^1=26$.
Tìm giá trị của $F(2019)-F(2018)+F(2017)-F(2016)+\cdots-F(2000)$.
Ba hộp $A$, $B$ và $C$ lần lượt chứa $100$, $50$ và $80$ viên bi cùng kích thước, trong đó có một số viên màu đen. Hộp $A$ có $15$ viên bi đen. Ta chọn ngẫu nhiên một hộp rồi lại lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Xác suất lấy được một viên bi đen theo cách này là $\frac{101}{600}$. Số viên bi đen lớn nhất có thể trong hộp $C$ là bao nhiêu?
Phần góc trên bên trái của một lưới gồm $101\times101$ ô vuông trắng được cho trong hình dưới đây. Một chuỗi được tạo thành bằng cách tô màu xám các ô như hình. Chuỗi bắt đầu ở góc trên bên trái và tiếp tục cho đến khi không thể đi tiếp. Trong toàn bộ lưới $101\times101$ ô vuông, có tất cả bao nhiêu ô được tô màu xám?
Trong hình dưới đây, các điểm $R$ và $T$ nằm trên cạnh $CD$ của hình bình hành $ABCD$ sao cho $DR=RT=TC$. Các đường thẳng $AR$ và $AT$ lần lượt cắt đường thẳng chứa cạnh $BC$ kéo dài tại $M$ và $L$; các đường thẳng $BT$ và $BR$ lần lượt cắt đường thẳng chứa cạnh $AD$ kéo dài tại $S$ và $P$. Nếu diện tích hình bình hành $ABCD$ là $48$ cm², diện tích miền tô màu, tính bằng cm², là bao nhiêu?
Trong hình dưới đây, một con kiến xuất phát từ điểm $A$ và di chuyển dọc theo các đường kẻ của lưới $10\times5$. Kiến chỉ được đi lên và sang phải, đồng thời không được đi qua điểm $C$. Có bao nhiêu cách để kiến đi từ điểm $A$ đến điểm $B$?
Trong hình dưới đây, $ABC$ là tam giác có $\angle BAC=150^\circ$, $BC=74$ cm và điểm $D$ nằm trên $BC$ sao cho $BD=14$ cm. Nếu $\angle ADB=60^\circ$, diện tích tam giác $ABC$, tính bằng cm², là bao nhiêu?
Cách nhập đáp án: ghi giá trị chính xác; dùng sqrt(...) để biểu thị căn bậc hai.
Trong hình dưới đây, một số khối lập phương được xếp chồng lên nhau thành một tháp hình tam giác vừa khít một góc phòng. Nếu dùng đúng $1330$ khối lập phương giống nhau, tháp có bao nhiêu tầng?
Lưu ý rằng từ góc nhìn này không thể thấy tất cả các khối lập phương.
Dãy tăng $1,3,4,9,10,12,13,\ldots$ gồm tất cả các số nguyên dương có thể biểu diễn thành lũy thừa của $3$ hoặc tổng của các lũy thừa khác nhau của $3$. Tìm số hạng thứ $100$ của dãy.
Trong tứ giác $ABCD$, $BC\parallel AD$, $BC=26$ cm, $AD=5$ cm, $AB=10$ cm và $CD=17$ cm. Các đường phân giác của $\angle A$ và $\angle B$ cắt nhau tại $M$, còn các đường phân giác của $\angle C$ và $\angle D$ cắt nhau tại $N$. Tìm độ dài $MN$, tính bằng cm.
