2019 SAIMC keystage3-IWYMIC team

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(I,M,C)$, trong đó $I$, $M$ và $C$ là các số nguyên tố và $I\le M\le C$, sao cho $I\times M\times C=I+M+C+1007$.

Chọn $N$ số nguyên trong $2021$ số nguyên dương liên tiếp sao cho hiệu giữa hai số bất kì được chọn không phải là số nguyên tố. Tìm giá trị lớn nhất của $N$.

Trong hình dưới đây, các điểm $A,C$ nằm trên tia $OM$ và $B,D$ nằm trên tia $ON$. Biết $OA=6$ cm, $OD=16$ cm và $\angle NOM=20^\circ$. Giá trị nhỏ nhất của $AB+BC+CD$, tính bằng cm, là bao nhiêu?

Xác định số cặp chữ số có thứ tự $(a,b)$ sao cho khi chia số $\left(\overline{2a1b9}\right)^{2019}$ cho $13$, số dư bằng $1$. ($\overline{2a1b9}$ là số có năm chữ số.)

Có $10$ quả bóng đỏ giống nhau, $15$ quả bóng đen giống nhau và $20$ quả bóng trắng giống nhau. Ta muốn chia tất cả các quả bóng cho $2$ bạn nam và một bạn nữ. Mỗi bạn nam phải nhận ít nhất $2$ quả mỗi màu, còn bạn nữ phải nhận ít nhất $3$ quả mỗi màu. Có tất cả bao nhiêu cách chia khác nhau cho ba bạn?

Điểm $B$ là một điểm tùy ý trên đường tròn tâm $O$, bán kính $1$ cm. $ABC$ là tam giác có $A$ trên đường tròn sao cho $AB=BC$ và $\angle ABC=90^\circ$. Xác định độ dài lớn nhất của $OC$, tính bằng cm.

Mỗi bạn trong $14$ bạn nữ có một tin vui thú vị khác nhau và muốn chia sẻ với tất cả các bạn còn lại. Trong mỗi vòng, một số hoặc tất cả các bạn gọi điện theo từng cặp, kể cho nhau mọi tin mà mình đã nghe.

**(a)** Cần ít nhất bao nhiêu vòng để mỗi bạn đều nghe được tất cả các tin vui? (10 điểm)

**(b)** Nêu tất cả các cuộc gọi trong từng vòng để đạt số vòng ít nhất. (30 điểm)

Mẫu trả lời gốc:

Trên mặt phẳng, chọn $5$ điểm $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$ và $X_5$, rồi nối mỗi cặp điểm bằng một đường thẳng màu xanh. Giả sử không có hai đường xanh nào song song hoặc vuông góc với nhau. Với mỗi điểm $X_i$ $(1\le i\le5)$ và mỗi đường xanh $L$ không đi qua $X_i$, vẽ một đường đỏ đi qua $X_i$ và vuông góc với $L$. Số giao điểm lớn nhất được tạo bởi các đường đỏ là bao nhiêu?

Cần phủ một bức tường có kích thước $2\times7$ ô vuông bằng gạch men. Có hai loại gạch: các viên $1\times1$ giống nhau và các viên $2\times1$ giống nhau. Có thể xoay viên $2\times1$ trước khi đặt lên bảng. Số viên mỗi loại có thể dùng là tùy ý. Có bao nhiêu cách phủ bức tường $2\times7$ bằng các viên gạch đó?

Với mỗi số nguyên dương $x$, gọi $S(x)$ là tổng các chữ số trong biểu diễn thập phân của $x$. Tìm tất cả nghiệm của phương trình $x=(S(x)+9)^2$.