2019 SAIMC keystage2-EMIC individual

Trong hình dưới đây, $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ và $g$ là các hình vuông bằng nhau. Tỉ số giữa diện tích phần tô màu và diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là bao nhiêu?

Trong hình dưới đây, hai đường tròn bằng nhau có tâm $A$ và $B$ cắt nhau, sao cho tâm của mỗi đường tròn nằm trên đường tròn kia. Tỉ số giữa độ dài cung $CBD$ và chu vi của một đường tròn là bao nhiêu?

Mỗi học sinh trong ba học sinh $A$, $B$ và $C$ có một máy tính và bắt đầu thực hiện các phép tính cùng lúc. Học sinh $A$ bắt đầu từ $1509$ và cộng $3$ ở mỗi bước, học sinh $B$ bắt đầu từ $2019$ và trừ $7$ ở mỗi bước, còn học sinh $C$ bắt đầu từ số $X$ và cộng $1$ ở bước thứ nhất, cộng $2$ ở bước thứ hai, cộng $3$ ở bước thứ ba, rồi tiếp tục như vậy. Nếu sau $N$ bước cả ba học sinh thu được cùng một kết quả, hãy tìm số $X$.

Chính quyền thành phố khảo sát tất cả học sinh lớp $5$ và lớp $6$ để tìm hiểu mức độ yêu thích đi xe trượt scooter và trượt ván. Trong số học sinh lớp $5$, có $9\%$ trả lời rằng các em thích đi xe trượt scooter và $14\%$ trả lời rằng các em thích trượt ván. Trong số học sinh lớp $6$, có $11\%$ trả lời rằng các em thích đi xe trượt scooter và $7\%$ trả lời rằng các em thích trượt ván. Khi gộp học sinh lớp $5$ và lớp $6$, số học sinh thích đi xe trượt scooter bằng số học sinh thích trượt ván. Biết tổng số học sinh lớp $5$ và lớp $6$ trong thành phố là $59400$ và không có học sinh nào thích cả đi xe trượt scooter lẫn trượt ván, hãy xác định số học sinh lớp $6$ trong thành phố.

Trung bình cộng của ba số nguyên dương là $2019$. Nếu thay một trong các số đó bằng $3$, thì trung bình cộng của $3$ số nguyên dương này trở thành $673$. Số ban đầu được thay bằng $3$ là bao nhiêu?

Hình dưới đây là hình vuông $ABCD$, trong đó điểm $P$ thuộc $BC$ và $AP=4$ cm. Gọi $BB_1$, $CC_1$ và $DD_1$ lần lượt là các đường vuông góc từ các điểm $B$, $C$ và $D$ đến đường thẳng $AP$. Nếu $BB_1+CC_1+DD_1=6$ cm, hãy tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tam giác $APD$.

Chín giỏ có số trứng lần lượt là $4$, $5$, $7$, $8$, $12$, $13$, $14$, $23$ và $24$. Ai muốn mua trứng phải mua hết số trứng trong một giỏ. Kitty và Philip mỗi người mua bốn giỏ. Nếu số trứng Kitty mua gấp ba lần số trứng Philip mua, thì giỏ còn lại có bao nhiêu quả trứng?

Chia các số từ $1$ đến $9$ thành ba nhóm, mỗi nhóm có ba số, rồi tính tích ba số trong mỗi nhóm sao cho tích lớn nhất nhỏ nhất có thể. Tích lớn nhất đó là bao nhiêu?

Nếu $A$ có nhiều hơn một ước nguyên tố, thì $A$ phải có bao nhiêu ước dương khác nhau để $A^2$ có $2019$ ước dương khác nhau?

Cho $ABCD$ là hình bình hành và điểm $E$ là trung điểm của $AB$, như hình dưới đây. Nếu diện tích tam giác $CDF$ là $2692\ \mathrm{cm}^2$, hãy tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tam giác $BCE$.

Độ dài các cạnh của một tam giác, tính bằng cm, là các số nguyên dương liên tiếp. Một đường trung tuyến của tam giác vuông góc với một đường phân giác của nó. Chu vi của tam giác, tính bằng cm, là bao nhiêu?

Xét tất cả các từ nhận được bằng cách hoán vị các chữ cái $\{D,U,R,B,A,N\}$. Viết tất cả các từ này thành một dãy theo thứ tự bảng chữ cái, bắt đầu từ $\mathrm{ABDNRU}$ và kết thúc bằng $\mathrm{URNDBA}$. Từ $\mathrm{DURBAN}$ ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy này?

John viết lên bảng tất cả các số nguyên từ $1$ đến $2019$, kể cả hai đầu mút. Bạn ấy đã dùng bao nhiêu chữ số chẵn?

Hình dưới đây minh họa một bức tường gạch có $7$ hàng và $2$ lỗ (tô màu đen). Ta muốn chọn một viên gạch ở mỗi hàng sao cho hai viên được chọn ở bất kì hai hàng kề nhau nào cũng nối với nhau (hai viên gạch nối với nhau nếu chúng có chung ít nhất một phần cạnh). Có bao nhiêu cách khác nhau để chọn $7$ viên gạch?

Trong phép tính dưới đây, mỗi chữ cái $S$, $A$, $I$, $M$, $C$, $T$ và $H$ biểu thị một chữ số khác nhau.

$$\overline{SAIMC}+\overline{SAIMC}=\overline{MATHS},$$

trong đó $\overline{SAIMC}$ và $\overline{MATHS}$ là các số có năm chữ số. Hãy tìm tổng tất cả các giá trị khác nhau có thể có của $T$.