Câu hỏi 3
Cho tam giác $ABC$ và đường thẳng $d$ đi qua $A$, không song song với $BC$.
(a) Dựng hình bình hành $CEFG$ sao cho $E,F,G$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $d,AB,BC$ và $CE$ song song với trung tuyến $AI$. Sau đó dựng hình bình hành $EAKH$ sao cho $K,H$ lần lượt nằm trên $AB,BC$. Gọi $U=BC\cap d$ và lấy $V$ trên $d$ đối xứng với $U$ qua $A$. Chứng minh $V,I,FG\cap KH$ thẳng hàng, đồng thời thẳng hàng với hai đỉnh $B',C'$ của hình bình hành $BB'CC'$ nhận $B,C$ làm hai đỉnh đối diện, các cạnh theo thứ tự song song với $d,AI$.
(b) Xét cặp đường thẳng $FG,KH$ cắt ba đường thẳng $BC,CA,AB$ ở ba cặp điểm được sắp xếp như thế nào đó. Từ đó phát biểu một định lý tổng quát. Nếu cho trước điểm $O$ trong mặt phẳng $ABC$, qua $O$ có thể dựng được hai đường thẳng $FG,KH$ hay không?
(a) Dựng hình bình hành $CEFG$ sao cho $E,F,G$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $d,AB,BC$ và $CE$ song song với trung tuyến $AI$. Sau đó dựng hình bình hành $EAKH$ sao cho $K,H$ lần lượt nằm trên $AB,BC$. Gọi $U=BC\cap d$ và lấy $V$ trên $d$ đối xứng với $U$ qua $A$. Chứng minh $V,I,FG\cap KH$ thẳng hàng, đồng thời thẳng hàng với hai đỉnh $B',C'$ của hình bình hành $BB'CC'$ nhận $B,C$ làm hai đỉnh đối diện, các cạnh theo thứ tự song song với $d,AI$.
(b) Xét cặp đường thẳng $FG,KH$ cắt ba đường thẳng $BC,CA,AB$ ở ba cặp điểm được sắp xếp như thế nào đó. Từ đó phát biểu một định lý tổng quát. Nếu cho trước điểm $O$ trong mặt phẳng $ABC$, qua $O$ có thể dựng được hai đường thẳng $FG,KH$ hay không?