Câu hỏi 2
Cho số nguyên dương $N$. Xét tất cả các ước số lẻ dương $n$ của $N$ và lấy tổng các số $(-1)^{(n-1)/2}$; gọi tổng đó là $f(N)$.
(a) Chứng minh rằng nếu $r$ là một số nguyên, $p$ là số nguyên tố thì $f(2)=1$, $f(2^r)=1$ và $f(p)=2$ nếu $p=4k+1$, còn $f(p)=0$ nếu $p=4k-1$. Đồng thời
$$f(p^r)=\begin{cases}1+r,&p=4k+1,\\1,&p=4k-1,\ r\equiv0\pmod2,\\0,&p=4k-1,\ r\equiv1\pmod2.\end{cases}$$
(b) Chứng minh $f$ là hàm nhân tính: nếu $M,N$ nguyên dương, $\gcd(M,N)=1$ thì $f(MN)=f(M)f(N)$. Tính $f(5^4\cdot11^{28}\cdot17^{19})$, $f(1980)$ và nêu luật chung để tính $f(N)$.
(a) Chứng minh rằng nếu $r$ là một số nguyên, $p$ là số nguyên tố thì $f(2)=1$, $f(2^r)=1$ và $f(p)=2$ nếu $p=4k+1$, còn $f(p)=0$ nếu $p=4k-1$. Đồng thời
$$f(p^r)=\begin{cases}1+r,&p=4k+1,\\1,&p=4k-1,\ r\equiv0\pmod2,\\0,&p=4k-1,\ r\equiv1\pmod2.\end{cases}$$
(b) Chứng minh $f$ là hàm nhân tính: nếu $M,N$ nguyên dương, $\gcd(M,N)=1$ thì $f(MN)=f(M)f(N)$. Tính $f(5^4\cdot11^{28}\cdot17^{19})$, $f(1980)$ và nêu luật chung để tính $f(N)$.