Câu hỏi 1
Gọi $\alpha$ là góc biến thiên tùy ý và $x=\cos\alpha$, $y=\cos n\alpha$.
(a) Chứng minh rằng ứng với mỗi giá trị của $x$ trong khoảng $-1\le x\le1$ ta có một và chỉ một giá trị xác định của $y$. Coi $y$ như một hàm số của $x$, ký hiệu $y=T_n(x)$. Hãy tính $T_1(x),T_2(x)$ và chứng minh
$$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x).$$
Từ đó suy ra $T_n(x)$ là một đa thức bậc $n$.
(b) Chứng minh rằng đa thức $T_n(x)$ có $n$ nghiệm thực phân biệt trong đoạn $[-1,1]$.
(a) Chứng minh rằng ứng với mỗi giá trị của $x$ trong khoảng $-1\le x\le1$ ta có một và chỉ một giá trị xác định của $y$. Coi $y$ như một hàm số của $x$, ký hiệu $y=T_n(x)$. Hãy tính $T_1(x),T_2(x)$ và chứng minh
$$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x).$$
Từ đó suy ra $T_n(x)$ là một đa thức bậc $n$.
(b) Chứng minh rằng đa thức $T_n(x)$ có $n$ nghiệm thực phân biệt trong đoạn $[-1,1]$.