Câu hỏi 1
Trong mặt phẳng có một bàn cờ vô hạn. Đối với bất kỳ cặp số nguyên dương $m$ và $n$ nào, hãy xem xét một tam giác vuông có các đỉnh tại các điểm lưới và hai cạnh góc vuông có độ dài $m$ và $n$, nằm dọc theo các cạnh của hình vuông. Gọi $S_1$ là tổng diện tích phần đen của tam giác và $S_2$ là tổng diện tích phần trắng. Gọi $f(m,n) = | S_1 - S_2 |$.
(a) Tính $f(m,n)$ cho tất cả các số nguyên dương $m$ và $n$ đều là số chẵn hoặc cả hai số lẻ.
(b) Chứng minh rằng $f(m,n) \leq \frac 12 \max \{m,n\}$ với mọi $m$ và $n$.
(c) Chứng minh rằng không có hằng số $C$ sao cho $f(m,n) \lt C$ cho mọi $m$ và $n$.
(a) Tính $f(m,n)$ cho tất cả các số nguyên dương $m$ và $n$ đều là số chẵn hoặc cả hai số lẻ.
(b) Chứng minh rằng $f(m,n) \leq \frac 12 \max \{m,n\}$ với mọi $m$ và $n$.
(c) Chứng minh rằng không có hằng số $C$ sao cho $f(m,n) \lt C$ cho mọi $m$ và $n$.