IMO 1987 - Đề chính thức Câu hỏi 1

Cho $S$ là một tập có $n$ phần tử. Ký hiệu số hoán vị của $S$ có đúng $k$ điểm bất động là $p_n(k)$. Chứng minh rằng
$$\sum_{k=0}^n kp_n(k)=n!.$$