AMC 12B năm 2008

Một cầu thủ bóng rổ đã ném $5$ rổ trong một trận đấu. Mỗi giỏ có giá trị $2$ hoặc $3$ điểm. Có bao nhiêu con số khác nhau có thể biểu thị tổng số điểm mà người chơi ghi được?

Khối ngày theo lịch $4 \times 4$ được hiển thị. Thứ tự các số ở hàng thứ hai sẽ bị đảo ngược. Khi đó thứ tự của các số ở hàng thứ tư sẽ bị đảo ngược. Cuối cùng, các số trên mỗi đường chéo sẽ được thêm vào. Sự khác biệt tích cực giữa hai tổng đường chéo sẽ là gì?

Một giải đấu bóng chày bán chuyên có các đội với $21$ cầu thủ mỗi đội. Quy tắc của giải đấu quy định rằng một cầu thủ phải được trả ít nhất $\$15{,}000,$ và tổng lương của tất cả các cầu thủ cho mỗi đội không được vượt quá $\$700{,}000.$ Mức lương tối đa có thể có, tính bằng đô la, cho một cầu thủ là bao nhiêu?

Trên vòng tròn $O,$ các điểm $C$ và $D$ nằm cùng một phía đường kính $\overline{AB},$ $\angle AOC = 30^\circ,$ và $\angle DOB = 45^\circ.$ Tỷ lệ của diện tích của khu vực nhỏ hơn $COD$ so với diện tích của vòng tròn?

Một lớp quyên góp $\$50$ để mua hoa tặng một bạn cùng lớp đang nằm viện. Hoa hồng có giá $\$3$ mỗi bông và hoa cẩm chướng có giá $\$2$ mỗi bông. Không được sử dụng các loại hoa khác. Có thể mua chính xác bao nhiêu bó hoa khác nhau $\$50?$

Người đưa thư Pete có một chiếc máy đếm bước chân để đếm bước chân của anh ấy. Máy đếm bước ghi lại tối đa $99999$ bước, sau đó chuyển sang $00000$ ở bước tiếp theo. Pete dự định xác định số dặm của mình trong một năm. Vào tháng 1 $1$ Pete đặt máy đếm bước thành $00000.$ Trong năm, máy đếm bước chuyển từ $99999$ sang $00000$ bốn mươi bốn lần. Vào tháng 12 $31$ máy đếm bước ghi $50000.$ Pete thực hiện $1800$ bước mỗi dặm. Điều nào sau đây gần nhất với số dặm Pete đã đi trong năm?

Đối với số thực $a$ và $b,$ xác định $a \$ b = (a - b)^2.$ $(x - y)^2 \$ (y - x)^2?$ là gì

Điểm $B$ và $C$ nằm trên $\overline{AD}.$ Độ dài của $\overline{AB}$ bằng $4$ nhân với độ dài của $\overline{BD},$ và độ dài của $\overline{AC}$ là $9$ nhân với độ dài của $\overline{CD}.$ Độ dài của $\overline{BC}$ bằng bao nhiêu phần của độ dài của $\overline{AD}?$

Các điểm $A$ và $B$ nằm trên đường tròn bán kính $5$ và $AB = 6.$ Điểm $C$ là trung điểm của cung nhỏ $AB.$ Độ dài đoạn thẳng $AC?$ là bao nhiêu

Thợ nề Brenda sẽ mất $9$ giờ để xây một ống khói một mình và thợ nề Brandon sẽ mất $10$ giờ để xây nó một mình. Khi làm việc cùng nhau, họ nói rất nhiều và tổng sản lượng của họ giảm đi $10$ viên gạch mỗi giờ. Làm việc cùng nhau, họ xây dựng ống khói trong $5$ giờ. Có bao nhiêu viên gạch trong ống khói?

Một ngọn núi hình nón có đáy nằm dưới đáy đại dương và có chiều cao $8000$ feet. Đỉnh $\tfrac{1}{8}$ của thể tích của ngọn núi nằm trên mặt nước. Độ sâu của đại dương ở chân núi là bao nhiêu, tính bằng feet?

Với mỗi số nguyên dương $n,$ thì trung bình cộng của số hạng $n$ đầu tiên của một dãy là $n.$ Số hạng thứ $2008$ của dãy là gì?

Đỉnh $E$ của đều $\triangle ABE$ nằm trong hình vuông đơn vị $ABCD.$ Gọi $R$ là vùng bao gồm tất cả các điểm bên trong $ABCD$ và bên ngoài $\triangle ABE$ có khoảng cách từ $\overline{AD}$ nằm trong khoảng $\tfrac{1}{3}$ và $\tfrac{2}{3}.$ diện tích của $R?$ là gì

Một vòng tròn có bán kính $\log_{10}(a^2)$ và chu vi đường tròn là $\log_{10}(b^4).$ $\log_a b?$ là gì

Trên mỗi cạnh của hình vuông đơn vị, một tam giác đều có độ dài cạnh $1$ được dựng lên. Trên mỗi cạnh mới của mỗi tam giác đều, một tam giác đều khác có độ dài cạnh $1$ được xây dựng. Phần bên trong của hình vuông và tam giác $12$ không có điểm chung. Đặt $R$ là vùng được hình thành bởi sự kết hợp của hình vuông và tất cả các hình tam giác, và đặt $S$ là đa giác lồi nhỏ nhất chứa $R.$ diện tích của vùng nằm bên trong $S$ nhưng bên ngoài $R?$

Một sàn hình chữ nhật có kích thước $a$ feet x $b$ feet, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương với $b \gt a.$ Một nghệ sĩ vẽ một hình chữ nhật trên sàn với các cạnh của hình chữ nhật song song với các cạnh của sàn. Phần không sơn của sàn tạo thành một đường viền có chiều rộng $1$ xung quanh hình chữ nhật được sơn và chiếm một nửa diện tích của toàn bộ sàn. Có bao nhiêu khả năng xảy ra đối với cặp có thứ tự $(a, b)?$

Đặt $A,$ $B$ và $C$ là ba điểm phân biệt trên đồ thị của $y = x^2$ sao cho đường thẳng $AB$ song song với trục $x$ và $\triangle ABC$ là một tam giác vuông với diện tích $2008.$ Tổng các chữ số của tọa độ $y$ của $C?$ là bao nhiêu

Hình chóp có đáy vuông $ABCD$ và đỉnh $E.$ diện tích của hình vuông $ABCD$ là $196,$ và diện tích của $\triangle ABE$ và $\triangle CDE$ là $105$ và $91,$ tương ứng. thể tích của kim tự tháp là gì?

Hàm $f$ được xác định bởi $f(z) = (4 + i)z^2 + \alpha z + \gamma$ cho tất cả các số phức $z,$ trong đó $\alpha$ và $\gamma$ là các số phức và $i^2 = -1.$ Giả sử rằng $f(1)$ và $f(i)$ đều là số thực. Giá trị nhỏ nhất có thể có của $|\alpha| + |\gamma|?$ là bao nhiêu

Michael đi bộ với tốc độ $5$ feet mỗi giây trên một con đường thẳng dài. Các thùng rác được đặt ở mỗi $200$ dọc theo lối đi. Một xe chở rác di chuyển với vận tốc $10$ feet mỗi giây theo cùng hướng với Michael và dừng lại trong $30$ giây ở mỗi thùng. Khi Michael đi ngang qua một chiếc thùng, anh ấy nhận thấy chiếc xe tải phía trước vừa rời khỏi chiếc thùng tiếp theo. Michael và chiếc xe tải sẽ gặp nhau bao nhiêu lần?