VTMO 2015 — Lớp 9 — Chung kết

Giải $\left(\sqrt{x + 24} + \sqrt{x}\right) \left(\sqrt{x + 15} - \sqrt{x + 3}\right) = 12$.

Giải phương trình nguyên $x \gt y : 2 x^{3} - 9 x^{2} y + 7 xy^{2} - 3 x + 3 y - 3 = 0$.

$0 \lt a \lt b \lt c$ là số nguyên, $ab + 1 = r^{2} , ac + 1 = s^{2} , bc + 1 = t^{2}$ với $r , s , t$ nguyên dương. Chứng minh $\frac{rs}{t}$ không nguyên dương.

$ABCD$ vuông, đường tròn $\left(A , AB\right)$. $M \in BC$; tiếp tuyến qua $M$ cắt $CD$ tại $N$. $a ) MB = MC$, tính $NC : ND$. $b$)Chứng minh tâm ngoại tiếp $AMN$ chạy trên đường thẳng cố định.

$G$ nằm trong $ABC$; $M = AG \cap BC , N = BG \cap CA , P = CG \cap AB$. $\frac{AG}{GM} + \frac{BG}{GN} + \frac{CG}{GP} = 6$. Chứng minh $G$ là trọng tâm.

$A = \{ 1 , 2 , \ldots , 100 \}$. Tập con $B$ có $k$ phần tử, tổng hai phần tử khác nhau bất kỳ không chia hết hiệu của chúng. Tìm $k$ lớn nhất.