Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$, ta có bất đẳng thức
$$\frac14\lt \frac{IA\cdot IB\cdot IC}{l_A l_B l_C}\le\frac8{27},$$
trong đó $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $l_A,l_B,l_C$ là độ dài các đường phân giác của $ABC$.
Cho $n>6$ và gọi $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_k$ là tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Chứng minh rằng nếu $a_1,a_2,\ldots,a_k$ là một cấp số cộng thì $n$ là số nguyên tố hoặc một lũy thừa với số mũ tự nhiên của hai.
Cho $S=\{1,2,3,\ldots,280\}$. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n$ sao cho trong mọi tập con gồm $n$ phần tử của $S$ đều có năm số đôi một nguyên tố cùng nhau.
Giả sử $G$ là một đồ thị liên thông có $n$ cạnh. Chứng minh rằng có thể gán nhãn các cạnh của $G$ từ 1 đến $n$ sao cho tại mỗi đỉnh $v$ của $G$ có ít nhất hai cạnh kề, tập các số gán cho những cạnh đó không có ước chung nào lớn hơn 1.
Cho $ABC$ là một tam giác và $M$ là một điểm ở bên trong $ABC$. Chứng minh rằng ít nhất một trong các góc $\angle MAB$, $\angle MBC$ và $\angle MCA$ nhỏ hơn hoặc bằng $30^\circ$.
Cho một số thực $a>1$, hãy xây dựng một dãy vô hạn và bị chặn $x_0,x_1,x_2,\ldots$ sao cho với mọi số tự nhiên $i$ và $j$, $i\ne j$, bất đẳng thức sau đúng:
$$|x_i-x_j||i-j|^a\ge1.$$