Xét hai đường tròn đồng tâm có bán kính $R$ và $r$ $(R\gt r)$, tâm $O$. Cố định $P$ trên đường tròn nhỏ và xét dây cung $PA$ thay đổi của đường tròn nhỏ. Các điểm $B$ và $C$ nằm trên đường tròn lớn; $B,P,C$ thẳng hàng và $BC$ vuông góc với $AP$.
(a) Với những giá trị nào của $\angle OPA$ thì tổng $BC^2+CA^2+AB^2$ đạt cực trị?
(b) Các trung điểm $U$ của $BA$ và $V$ của $AC$ có thể nằm ở những vị trí nào khi $\angle OPA$ thay đổi?
Cho $n$ là số nguyên dương chẵn. Cho $A_1,A_2,\ldots,A_{n+1}$ là các tập hợp, mỗi tập có $n$ phần tử, sao cho hai tập bất kỳ có đúng một phần tử chung, còn mỗi phần tử thuộc hợp của chúng nằm trong ít nhất hai tập đã cho. Với những $n$ nào, có thể gán cho mỗi phần tử của hợp một trong các số $0$ và $1$ sao cho mỗi tập có đúng $n/2$ số không?
Một hàm $f$ xác định trên các số nguyên dương (và nhận giá trị nguyên dương) được cho bởi $$\begin{aligned}f(1)&=1,\quad f(3)=3,\\f(2n)&=f(n),\\f(4n+1)&=2f(2n+1)-f(n),\\f(4n+3)&=3f(2n+1)-2f(n),\end{aligned}$$ với mọi số nguyên dương $n$. Hãy xác định, kèm chứng minh, số các số nguyên dương không vượt quá $1988$ thỏa mãn $f(n)=n$.
Trong tam giác vuông $ABC$, gọi $AD$ là đường cao hạ xuống cạnh huyền và đường thẳng nối tâm các đường tròn nội tiếp của hai tam giác $ABD$, $ACD$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $K$, $L$. Nếu $E$ và $E_1$ lần lượt là diện tích các tam giác $ABC$ và $AKL$, hãy chứng minh rằng $\frac{E}{E_1}\ge2$.