IMO 1977 — Đề thi chính thức

Các tam giác đều $ABK,BCL,CDM,DAN$ được dựng bên trong hình vuông $ABCD$. Chứng minh rằng trung điểm của bốn đoạn thẳng $KL,LM,MN,NK$ và trung điểm của tám đoạn thẳng $AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN$ là mười hai đỉnh của một thập nhị giác đều.

Trong một dãy hữu hạn các số thực, tổng của bảy số hạng liên tiếp bất kỳ là âm, và tổng của mười một số hạng liên tiếp bất kỳ là dương. Xác định số số hạng lớn nhất của dãy.

Cho $n$ là một số nguyên lớn hơn $2$, và gọi $V_n$ là tập các số nguyên $1+kn$, trong đó $k=1,2,\ldots$. Một số $m\in V_n$ được gọi là bất khả phân tích trong $V_n$ nếu không tồn tại các số $p,q\in V_n$ sao cho $pq=m$. Chứng minh rằng tồn tại một số $r\in V_n$ biểu diễn được thành tích các phần tử bất khả phân tích trong $V_n$ theo nhiều hơn một cách. (Các biểu thức chỉ khác nhau về thứ tự các phần tử của $V_n$ được coi là như nhau.)

Cho các hằng số thực $a,b,A,B$ và
$$f(x)=1-a\cos x-b\sin x-A\cos2x-B\sin2x.$$
Chứng minh rằng nếu $f(x)\ge0$ với mọi số thực $x$ thì
$$a^2+b^2\le2\qquad A^2+B^2\le1.$$

Cho $a$ và $b$ là các số tự nhiên, và gọi $q$, $r$ lần lượt là thương và số dư khi chia $a^2+b^2$ cho $a+b$. Tìm các số $a$ và $b$ nếu $q^2+r=1977$.

Cho hàm số $f:\mathbb N\to\mathbb N$ thỏa mãn bất đẳng thức $f(n+1)>f(f(n))$ với mọi $n\in\mathbb N$. Chứng minh rằng $f(n)=n$ với mọi số tự nhiên $n$.