Olympic Toán học Quốc tế 1960 — Các bài thi

(BUL) Tìm tất cả các số có ba chữ số mà khi chia số đó cho $11$, ta được tổng bình phương các chữ số của số ban đầu.

(HUN) Những số thực $x$ nào thỏa mãn bất đẳng thức sau:
$$\frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9?$$

(ROM) Cho tam giác vuông $ABC$ có cạnh huyền $BC$ dài $a$, được chia thành $n$ đoạn bằng nhau, trong đó $n$ lẻ. Gọi $\alpha$ là góc nhìn từ điểm $A$ đối với đoạn chứa trung điểm của cạnh huyền. Chứng minh rằng
$$\tan\alpha=\frac{4nh}{(n^2-1)a},$$
trong đó $h$ là đường cao của tam giác.

(HUN) Dựng tam giác $ABC$ biết độ dài các đường cao $h_a$ và $h_b$ (lần lượt từ $A$ và $B$) và độ dài trung tuyến $m_a$ (từ $A$).

(CZS) Cho hình lập phương $ABCDA'B'C'D'$.

(a) Tìm quỹ tích trung điểm của mọi đoạn $XY$, trong đó $X$ là điểm bất kỳ trên đoạn $AC$, còn $Y$ là điểm bất kỳ trên đoạn $B'D'$.

(b) Tìm quỹ tích mọi điểm $Z$ trên các đoạn $XY$ sao cho $\overrightarrow{ZY}=2\overrightarrow{XZ}$.

(BUL) Cho hình thang cân có hai đáy $a$ và $b$ và chiều cao $h$.

(a) Trên trục đối xứng, dựng điểm $P$ sao cho từ $P$ nhìn mỗi cạnh bên dưới góc $90^\circ$.

(b) Tìm khoảng cách từ $P$ đến một trong hai đáy của hình thang.

(c) Với những điều kiện nào của $a,b$ và $h$ thì dựng được điểm $P$ (xét mọi trường hợp có thể xảy ra)?

(GDR) Một mặt cầu nội tiếp một hình nón tròn xoay. Ngoại tiếp mặt cầu đó một hình trụ sao cho đáy hình trụ nằm trong cùng mặt phẳng với đáy hình nón. Gọi $V_1$ là thể tích hình nón, $V_2$ là thể tích hình trụ.

(a) Chứng minh rằng không thể có $V_1=V_2$.

(b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để $V_1=kV_2$ và dựng góc ở đỉnh hình nón trong trường hợp đó.