IMAS 2020–2021 Junior Vòng 2

Cho $P=\frac{2021}{2020}-\frac{2020}{2021}$ và $Q=\frac1{2020}\times\frac1{2021}$. Giá trị của $\frac PQ$ bằng bao nhiêu?

Có bao nhiêu số nguyên không âm $x$ thỏa mãn $|3x+2|\le20$?

Trong hình, $ABC$ là tam giác vuông với $\angle ACB=90^\circ$, $AC=6$, $CB=8$ và $CDEF$ là hình vuông. Nếu $AF$ cắt $DE$ tại $K$, giá trị của $\frac{DK}{EK}$ bằng bao nhiêu?

Emily mua một số kẹo trái cây và kẹo sữa với tổng giá 100 đô-la; mỗi kẹo trái cây giá 3 đô-la, mỗi kẹo sữa giá 8 đô-la. Biết rằng số kẹo trái cây mua ít hơn số kẹo sữa. Emily mua tổng cộng bao nhiêu viên kẹo?

Cho $x^2=x+1$. Biểu thức đại số nào sau đây bằng $x^8$?

Định nghĩa $(a,b,c,d)=ab-cd$, trong đó $a,b,c,d$ là các số nguyên dương. Biết $\frac{(a,3,2,1)}{(3,2,1,a)}=5$, hãy xác định $a$.

Với số thực $x$ bất kỳ, định nghĩa $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, và $\{x\}$ là phần lẻ của $x$, với $\{x\}=x-[x]$. Nếu $2[x]+3\{x\}=\frac{69}{5}$ thì $x$ bằng bao nhiêu?

Cho $xyz>0$, đồng thời $x+y=\frac{xy}{2}$, $y+z=\frac{yz}{3}$ và $z+x=\frac{zx}{4}$. Giá trị của $z$ bằng bao nhiêu?

Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $a>b>c$. Biết $b$ là số có một chữ số, $c$ là số nguyên tố có một chữ số và $a^2+b^2+c^2=2021$. Giá trị của $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Trong sơ đồ, điền số vào mỗi “○” sao cho tổng các số tại bốn đỉnh của mọi hình vuông tìm được đều bằng nhau. Nếu số ở giữa được điền là $\frac nm$, với $m,n$ là các số dương nguyên tố cùng nhau, thì $m+n$ bằng bao nhiêu?

Trong hình dưới, $ABCD$ và $ADEF$ đều là hình bình hành, diện tích các tam giác $ABF$ và $ACF$ lần lượt là 20 cm² và 50 cm². Diện tích hình bình hành $ADEF$ bằng bao nhiêu cm²?

Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a>b>c>d$ và hệ phương trình: $$\begin{cases}a+b+c+d=2020\\a^2-b^2+c^2-d^2=2020.\end{cases}$$ Có bao nhiêu bộ bốn có thứ tự $(a,b,c,d)$ thỏa mãn các điều kiện trên?

Cho $\overline{abcd}$ và $\overline{cdab}$ là hai số có bốn chữ số, trong đó $a,b,c,d$ là bốn chữ số khác nhau chọn từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nếu $M$ là ước chung lớn nhất của $\overline{abcd}$ và $\overline{cdab}$ thì giá trị lớn nhất có thể của $M$ là bao nhiêu?

Trong hình dưới, $ABCD$ là tứ giác lồi, $M$ là trung điểm của $CD$ và $\angle AMB=135^\circ$. Chứng minh rằng $AD+BC+\frac{\sqrt2}{2}CD\ge AB$. (Cần trình bày lời giải chi tiết.)

Cho số nguyên dương $N$ sao cho $N+1$ là bội của 24. Chứng minh rằng tổng tất cả các ước dương của $N$ cũng là bội của 24. (Cần trình bày lời giải chi tiết.)